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Projetos rodoviários: curva vertical

Todo mundo gosta de uma estrada plana, não é mesmo? Você consegue viajar bem mais rápido, não perde seu precioso tempo tentando ultrapassar os caminhões e nem arrisca sua segurança.

Seria ótimo se todas as estradas fossem perfeitamente retas e planas, mas a realidade é bem diferente. Isso porque há varias limitações para isso, como os obstáculos da natureza ou os altos de custo de regularização do terreno.

É aí que as rampas e as curvas verticias entram para facilitar a construção das estradas e garantir a sua continuidade quando, por exemplo, o terreno de base da estrada é extremamente montanhoso ou, até mesmo, para evitar custos excessivos durante a sua execução.

É por isso mesmo que, nesse post, estudaremos as curvas verticias do tipo simples e ainda aprenderemos como calcular as cotas das estacas pertencentes a ela.

Mas antes de começarmos nossa aventura aqui, recomendamos que dê uma rápida olhada no nosso post anterior sobre projeto longitudinal rodoviário e seus elementos, clicando aqui.

Agora vamos lá?

Tipos de curvas verticais

Conforme vimos no último post, as curvas verticais tem o principal objetivo de realizar a concordância entre duas rampas e podem ser de dois tipos: côncavas ou convexas, conforme veremos na imagem a seguir.

Exemplo de perfil longitudinal
Exemplo de perfil longitudinal

Para realizar essa concordância, podemos utilizar diversos tipos de curvatura, como, por exemplo, circunferências, elipses ou parábolas de 2º ou 3º grau.

No entanto, a curvatura do tipo parábola do 2º grau é a mais utiliza por apresentar uma taxa de variação da declividade constante e pela facilidade de cálculo das cotas.

É por essa razão que é o tipo de curvatura recomendada pelo Departamento Nacional de Infraestrutura e Transportes (DNIT) e é o tipo que estudaremos aqui e agora.

Principais elementos da curva vertical

Para começarmos a entender o projeto de curvatura de uma estrada, iremos agora conhecer os elementos componentes da curva horizontal simples.

Curva vertical parabólica convexa
Curva vertical parabólica convexa

Ponto de interseção das tangentes (PIV)

O ponto de interseção, como o próprio nome sugere, é o ponto de encontro entre as duas tangentes à parábola, ou seja, entre o prolongamento de duas rampas consecutivas.

Ponto de curva vertical (PCV)

Este ponto caracteriza-se por ser o ponto de transição entre a primeira rampa e a curva vertical.

Ponto de tangente vertical (PTV)

O PTV, por sua vez, é o ponto de transição entre a curva vertical e a segunda rampa.

Comprimento da curva vertical (Lv)

Lv é a o comprimento projetado, ou seja, na horizontal, de curva vertical e pode ser medido pela diferença entre as estacas PTV e PCV.

Flecha (e)

A flecha é a diferença de cotas entre dois pontos de mesma abscissa situados na tangente e na curva vertical.

Esse elemento é extremamente importante para a que a regularização do terreno onde a estrada deverá ser assentada, ou seja, é através dele que conseguimos obter o perfil longitudinal adequado para a estrada.

Como calcular a curva vertical

Conforme já foi dito, a cura vertical que trataremos aqui será a parabólica do segundo grau, que tanto pode ser simples como composta. Neste post, veremos como calcular uma curva vertical simples, que é aquele em que os pontos PCV e PTV então equidistantes em relação a PIV.

1. Calcular o comprimento mínimo da curva

De início, precisamos determinar o comprimento ideal para a curva vertical. Para isso, iremos aprender a obter o comprimento mínimo permitido levando em conta a distância de visibilidade adequada para que o condutor tenha condições de realizar uma frenagem segura.

Dessa forma, antes de tudo, a distância de visibilidade (S) não pode ser inferior à distância de frenagem (Df).

Agora, iremos estudar 2 casos diferentes para ambos os tipos de curvas, sempre considerando a situação mais desfavorável, em que S = Df.

Vale lembrar que ambos os casos apresentados dever ser calculados, sendo o comprimento mínimo o maior dentre os dois, considerando sempre o mínimo absoluto, que é igual a 0,6.Vp.  

Curvas convexas

Curva vertical convexa
Curva vertical convexa

1º caso: S = Df ≤ Lv

Nesse primeiro caso, a distância de visibilidade é menor ou igual ao comprimento da curva, o que significa que, na situação mais desfavorável, tanto o veículo quando um obstáculo estão sobre a curva.

Desse modo, o comprimento mínimo é calculado pela expressão a seguir:

\mathrm{Lv_{mín}=\dfrac{|i_2-i_1|.Df^2}{4,04}}

Onde:

  • Lvmín é o comprimento mínimo da curva vertical (m), Lvmín ≥ 0,6.Vp;
  • Vp é a velocidade diretriz de projeto (km/h);
  • i1 é a inclinação da primeira rampa (decimal);
  • i2 é a inclinação da segunda rampa (decimal);
  • Df é a distância de frenagem (m).

2º caso: S = Df ≥ Lv

Para o segundo caso, a distância de visibilidade é maior ou igual ao comprimento da curva. Desse modo, o comprimento mínimo é calculado por:

\mathrm{Lv_{mín}=2.Df-\dfrac{4,04}{|i_2-i_1|}}

Onde:

  • Lvmín é o comprimento mínimo da curva vertical (m), Lvmín ≥ 0,6.Vp;
  • Vp é a velocidade diretriz de projeto (km/h);
  • i1 é a inclinação da primeira rampa (decimal);
  • i2 é a inclinação da segunda rampa (decimal);
  • Df é a distância de frenagem (m).

Curvas côncavas

Curva vertical côncava
Curva vertical côncava

1º caso: S = Df ≤ Lv

\mathrm{Lv_{mín}=\dfrac{|i_2-i_1|.Df^2}{1,2+0,035.Df}}

Onde:

  • Lvmín é o comprimento mínimo da curva vertical (m), Lvmín ≥ 0,6.Vp;
  • Vp é a velocidade diretriz de projeto (km/h);
  • i1 é a inclinação da primeira rampa (decimal);
  • i2 é a inclinação da segunda rampa (decimal);
  • Df é a distância de frenagem (m).

2º caso: S = Df ≥ Lv

\mathrm{Lv_{mín}=2.Df-\dfrac{1,+0,035.Df}{|i_2-i_1|}}

Onde:

  • Lvmín é o comprimento mínimo da curva vertical (m), Lvmín ≥ 0,6.Vp;
  • Vp é a velocidade diretriz de projeto (km/h);
  • i1 é a inclinação da primeira rampa (decimal);
  • i2 é a inclinação da segunda rampa (decimal);
  • Df é a distância de frenagem (m).

2. Encontrar a equação da parábola  

Agora que já sabemos qual é o comprimento adequado para a curva vertical, é imprescindível que conheçamos sua equação y=ax²+bx+c. Para isso, basta que situemos o PCV na origem do eixo cartesiano e utilizemos as informações já conhecidas como, por exemplo, a inclinação das rampas que também são as tangentes da parábola.

Pois bem, sabemos que, como que a parábola cruza o eixo y na origem, c=0. Além disso, como a tangente ou devida no PCV (x=0) é igual à inclinação da primeira rampa i1, temos:

\mathrm{\dfrac{dy}{dx}=i_1}

\mathrm{2ax+b=i_1}

\mathrm{b=i_1}

Da mesma forma, como a tangente no PTV (x=Lv) é igual à inclinação da segunda rampa i2, temos:

\mathrm{\dfrac{dy}{dx}=i_2}

\mathrm{2ax+b=i_2}

\mathrm{2a(Lv)+i_1=i_2}

\mathrm{a=\dfrac{i_2-i_1}{2Lv}}

Desse modo, facilmente encontramos a equação

\mathrm{y=\dfrac{i_2-i_1}{2Lv}\cdot{x^2}+i_1.x}

Onde:

  • y é a cota de um ponto em relação à estaca PCV (m);
  • x é a distância de um ponto em relação à estaca PCV (m);
  • i1 é a inclinação da primeira rampa (decimal);
  • i2 é a inclinação da segunda rampa (decimal);
  • Lv é o comprimento da curva vertical (m).

Conhecendo a equação, conseguimos agora determinar a cota de qualquer ponto da curva somando o valor de y no ponto à cota do PCV.

Outra forma de também calcularmos as cotas é por meio da flecha em relação à primeira tangente e, assim, a cota de qualquer ponto na curva será a cota na tangente menos a flecha nesse ponto.

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3. Calcular a equação da flecha

Cabemos que a flecha é a diferença de conta entre a tangente e a parábola, dessa forma, temos:

\mathrm{e=i_1.x-\dfrac{i_2-i_1}{2Lv}\cdot{x^2}+i_1.x}

\mathrm{e=\dfrac{i_1-i_2}{2Lv}\cdot{x^2}}

Se preferir, a equação da flecha também pode ser dada em função da flecha máxima, ao invés de utilizar as inclinações das rampas, vejamos.

Sabemos que a flecha máxima ocorre no PIV (x=Lv/2), então:

\mathrm{e_{máx}=\dfrac{i_1-i_2}{2Lv}\cdot{(Lv/2)^2}}

\mathrm{e_{máx}=\dfrac{i_1-i_2}{2Lv}\cdot{Lv^2/4}}

\mathrm{e_{máx}=\dfrac{Lv.(i_1-i_2)}{8}}

Onde:

  • emáx é a flecha máxima da curva (m);
  • Lv é o comprimento da curva vertical (m);
  • i1 é a inclinação da primeira rampa (decimal);
  • i2 é a inclinação da segunda rampa (decimal).

Agora, isolaremos i_1-i_2 para substituirmos na equação da flecha:

\mathrm{i_1-i_2=\dfrac{8.e_{máx}}{Lv}}

\mathrm{e=\dfrac{(8.e_{máx}/Lv)}{2Lv}\cdot{x^2}}

\mathrm{e_1=\dfrac{4.e_{máx}}{Lv^2}\cdot{x^2}}

Onde:

  • e1 é a flecha em um ponto situado no primeiro ramo da curva (m);
  • emáx é a flecha máxima da curva (m);
  • Lv é o comprimento da curva vertical (m);
  • x é a distância de um ponto em relação à estaca PCV (m).

Para a equação da flecha acima, é importante nos atentarmos que ela somente é válida para o primeiro ramo, ou seja, para x ≤ Lv/2, para o segundo ramo, utilizaremos a equação abaixo:

\mathrm{e_2=\dfrac{4.e_{máx}}{Lv^2}\cdot{(Lv-x)^2}}

Onde:

  • e2 é a flecha em um ponto situado no segundo ramo da curva (m);
  • emáx é a flecha máxima da curva (m);
  • Lv é o comprimento da curva vertical (m);
  • x é a distância de um ponto em relação à estaca PCV (m).

4. Calcular as cotas

Por fim, o último passo será calcular as cotas das estadas pertencentes à curva vertical.

Pontos notáveis PCT e PTV

\mathrm{Cota_{\:PCV}=Cota_{\:PIV}-\dfrac{Lv.i_1}{2}}

\mathrm{Cota_{\:PTV}=Cota_{\:PIV}+\dfrac{Lv.i_2}{2}}

Ponto qualquer em relação a PIV

Para calcularmos a cota em qualquer ponto da curva vertical utilizaremos a equação da flecha em relação à cota do PIV, considerando os dois ramos da curva, separadamente, conforme abaixo:

 ramo (antes do PIV)

\mathrm{Cota_{\:P}=Cota_{\:PIV}-d.i_1-\dfrac{4.e_{máx}}{Lv^2}\cdot{d^2}}

2º ramo (depois do PIV)

\mathrm{Cota_{\:P}=Cota_{\:PIV}+d.i_2-\dfrac{4.e_{máx}}{Lv^2}\cdot{(Lv/2-d)^2}}

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Pois bem pessoal, essas foram algumas considerações a respeito das curvas verticais e não esquecer de clicar aqui para conferir o exercício resolvido sobre esse mesmo assunto para que não restem mais dúvidas!

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É claro, no entanto, que esse universo é muuuuito mais amplo do que conseguimos abordar em um e-Book.

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Fonte:

ALBUQUERQUE, Marcos. Projeto vertical. Teresina: UFPI, 2017.

MACEDO, Edivaldo Lins. Noções de Topografia Para Projetos Rodoviarios.  2008. Disponível em: <http://www.topografiageral.com/>. Acesso em: 26 agosto 2019.

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