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Lei de Darcy e coeficiente depermeabilidade do solo

Nesse post vamos falar sobre permeabilidade do solo e Lei de Darcy!

Isso mesmo! Você já sabe que o solo possui espaços vazios entre seus grãos ou partículas e que há o fluxo de água por entre esses interstícios.

Então, agora você saberá, de maneira simplificada, como ocorre esse fluxo e quais os principais fatores que influenciam nessa permeabilidade.

Vamos nessa?

Permeabilidade do solo

Já comentamos sobre o conceito de capilaridade aqui no blog, agora falaremos sobre permeabilidade.

Inicialmente, precisamos entender: o que é permeabilidade?

Permeabilidade é uma propriedade do solo de permitir o escoamento, ou percolação, de água através dele.

Ou seja, quando dizemos que um solo é altamente permeável, queremos dizer que a percolação de água  nesse solo se dá de maneira fácil, entendeu?

E então você me pergunta: e como posso dizer se um solo é mais ou menos permeável que outro?

Então, a permeabilidade do solo pode ser mensurada através do coeficiente de permeabilidade e tal coeficiente pode ser determinado experimentalmente através da Lei de Darcy.

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Lei de Darcy

A lei de Darcy foi proposta a partir de resultados de experimentos realizados pelo francês Henry Darcy, em 1856.

Considere o seguinte esquema da figura abaixo. Onde os níveis de água h1 e h2 são mantidos constantes e o fluxo de água ocorre da esquerda para direita através do solo.

Esquema do experimento de Darcy
Esquema do experimento de Darcy

Darcy observou que o fluxo ocorria com uma vazão que podia ser obtida através da seguinte formulação, conhecida como Lei de Darcy:

\mathrm{Q=k\cdot \dfrac{\Delta h}{L}\cdot A}

Onde:

  • Q: vazão (m³/s);
  • k: coeficiente de permeabilidade do solo (m/s);
  • A: área transversal a amostra de solo;

Ainda podemos reescrever a Lei de Darcy, com a utilização do conceito de gradiente hidráulico (i):

\mathrm{Q=k\cdot i\cdot A}

Onde:

\mathrm{i=\dfrac{\Delta h}{L}}

Logo, podemos entender gradiente hidráulico como a carga que se dissipa ao longo da percolação.

Agora que você já sabe a formulação da Lei de Darcy, vamos falar um pouco sobre o coeficiente de permeabilidade.

Coeficiente de permeabilidade (k)

Então, como você já sabe, o coeficiente de permeabilidade é um valor numérico que nos dá noção do quão permeável é aquele solo.

Quanto maior o coeficiente de permeabilidade, maior o fluxo de água no solo, logo, mais permeável é o mesmo.

Logo, é interessante que você saiba que o coeficiente de permeabilidade é geralmente um valor muito baixo, por isso é expresso com potência negativa de base 10, como você pode perceber na tabela abaixo, retirada do material do Prof. Marangon.

Coeficientes de permeabilidade do solo
Coeficientes de permeabilidade do solo

Também é interessante que você entenda que diversos fatores influenciam no valor do coeficiente de permeabilidade do solo, como por exemplo:

  • Estrutura solo;
  • Grau de saturação;
  • Índice de vazios;
  • Temperatura.

Agora, vamos nos aprofundar um pouco em cada um desses fatores!

Estrutura do solo e grau de saturação

Então, inicialmente, vale frisar que o solo sempre apresenta certa organização entre suas partículas.

Tal organização pode se dar principalmente por forças gravitacionais, no caso de partículas maiores, como por exemplo areias e pedregulhos.

Porém, em solos finos, como argilas e siltes, forças eletromagnéticas de atração e repulsão que são responsáveis pela determinação da estrutura do solo.

Podemos citar como principais estruturas de solos:

  • Simples;
  • Alveolar;
  • Floculada;
  • Dispersa.

Então, de maneira geral, podemos dizer que solos com estruturas simples tem permeabilidade maior que as demais, sendo ainda a permeabilidade de estruturas floculadas maiores que de estruturas dispersas.

Já em relação ao grau de saturação, podemos afirmar, de maneira bem resumida, que o coeficiente de permeabilidade de solos saturados é maior que o coeficiente de permeabilidade de solos não saturados!

Índice de vazios

Sim, o índice de vazios é um dos fatores que influenciam diretamente no coeficiente de permeabilidade do solo.

Então, usando seu conhecimento sobre permeabilidade e índice de vazios, fica fácil perceber que quanto maior o índice de vazios do solo, maior será o coeficiente de permeabilidade do mesmo.

Na literatura, encontramos algumas formulações que correlacionam o índice de vazios de areias com o coeficiente de permeabilidade do solo, como a equação de Taylor e de Casagrande:

\mathrm{\dfrac{k_1}{k_2}=\dfrac{e^{3}_1}{e^{3}_2}\cdot \dfrac{1+e_2}{1+e_1}} (Eq. Taylor)

\mathrm{k=1,4\cdot k_{0,85}\cdot e^2} (Eq. Casagrande)

Onde:

  • \mathrm{k_{0,85}}: coeficiente de permeabilidade para quando e=0,85.

Temperatura

A temperatura influencia o coeficiente de permeabilidade do solo diretamente, pois quanto maior a temperatura, menor a viscosidade da água, logo, ela terá maior facilidade em escoar pelo solo.

Por isso, é bem comum encontrarmos os valores do coeficiente de permeabilidade de solo para situação padrão de temperatura igual a 20ºC.

Então, geralmente fazemos uma relação com o coeficiente de permeabilidade já conhecido para o solo, a 20ºC, através da formulação:

\mathrm{k_{20}=k_T\dfrac{\eta_T}{\eta_{20}}}

Onde:

  • \mathrm{k_T}: coeficiente de permeabilidade na temperatura do ensaio;
  • \mathrm{\eta_T}: viscosidade da água na temperatura do ensaio;
  • \mathrm{\eta_{20}}: viscosidade da água a 20ºC;

Ainda podemos calcular a viscosidade da água através da seguinte formulação empírica:

\mathrm{\eta=\dfrac{0,0178}{1+0,033T+0,0002T^2}}

Onde T é a temperatura em ºC.

Mas agora que já vimos tudo sobre como vários fatores podem influenciar no coeficiente de permeabilidade do solo você me pergunta: como podemos determinar o coeficiente de permeabilidade?

É muito simples! De maneira geral, existem três formas:

  1. A partir de formulações que correlaciona a granulometria do solo com tal coeficiente;
  2. In loco;
  3. Em testes de laboratórios, com uso de permeâmetros!

Aqui, vamos nos focar mais nos permeâmetros, pois são os mais utilizados na prática.

Permeâmetros

Existem dois tipos principais de permeâmetros: o permeâmetro de nível constante e o de nível variado.

Permeâmetro de nível constante

O ensaio com permeâmetro a nível constante consiste basicamente em dois reservatórios com água a níveis constantes e com uma amostra de solo entre esses dois reservatórios.

Permeâmetro de níveis constantes
Permeâmetro de níveis constantes

Como o segundo reservatório é mantido cheio desde o início do ensaio, o volume de água que transbordar, será o volume considerado no fluxo. Logo, medindo o tempo sabe-se a vazão.

Como já era sabida a diferença de níveis entre os reservatórios, bem como comprimento e área transversal da amostra de solo, basta utilizarmos a Lei de Darcy para calcular k.

\mathrm{Q=k\cdot \dfrac{\Delta h}{L}\cdot A}

\mathrm{k=\dfrac{Q\cdot L}{\Delta h \cdot A}}

\mathrm{k=\dfrac{V\cdot L}{\Delta h \cdot A\cdot t}}

Perceba que como é preciso cronometrar o tempo de ensaio para se chegar no valor do coeficiente, o ensaio de permeâmetro com nível constante é utilizado para solos granulares, pois sua utilização para solos finos seria muito demorada e menos precisa.

Logo, para solos finos, utilizamos o ensaio de permeâmetro de níveis variáveis.

Permeâmetro de níveis variáveis

No ensaio de permeabilidade a carga variável acompanha-se os valores de h ao longo do tempo, encontrando-se um valor de h dependente do tempo h(t).

Permeâmetro de cargas variáveis
Permeâmetro de cargas variáveis

Podemos dizer que a vazão de água na bureta, ao longo do tempo é:

\mathrm{Q=-a\cdot \dfrac{dh}{dt}}

Onde:

  • a: é a área da seção da bureta.

Já a vazão que passa pelo solo, seguindo a lei de Darcy, é:

\mathrm{Q=k \dfrac{h}{L}\cdot A}

Igualando-se tais vazões, chegamos a equação:

\mathrm{-a\cdot dh=k \dfrac{h}{L}\cdot A\cdot dt}

Isolando a variável h em um termo e integrando o mesmo em h e integrando o outro termo em t, temos o seguinte resultado:

\mathrm{k=\dfrac{a\cdot L}{A\cdot \Delta t}\cdot ln\left(\dfrac{h_0}{h_1}\right)}

\mathrm{k=2,3 \cdot \dfrac{a\cdot L}{A\cdot \Delta t}\cdot log\left(\dfrac{h_0}{h_1}\right)}

Pronto! Você já sabe como determinar experimentalmente o valor do coeficiente de permeabilidade de uma amostra de solo. Agora, vamos falar um pouco sobre lei de Darcy para solos estratificados.

Lei de Darcy em solos estratificados

Na presença de solos estratificados, ou seja, com variação do coeficiente k em diversas camadas, é necessário calcular um coeficiente equivalente \mathrm{k_{eq}} para simular uma só camada de solo.

Podemos dividir, de maneira simplificada, as estratificações em:

  • Fluxo paralelo à estratificação do solo;
  • Fluxo perpendicular à estratificação do solo.

Vamos agora ver cada um separadamente.

Fluxo paralelo à estratificação do solo

Considere o seguinte esquema que representa esse caso.

Estratificação paralela ao fluxo
Estratificação paralela ao fluxo

Perceba que o gradiente hidráulico é o mesmo para todas as camadas de solo e que a vazão total é a soma de todas as vazões de cada camada, logo:

\mathrm{Q=q_1+q_2+...+q_n}

\mathrm{k_{eq}\cdot i \cdot A =k_1\cdot i \cdot A_1+k_2\cdot i \cdot A_2+...+k_n\cdot i \cdot A_n}

Como a área de cada seção é a multiplicação da altura da camada pela largura da mesma e todas tem a mesma largura, temos:

\mathrm{k_{eq}\cdot H =k_1 \cdot H_1+k_2\cdot H_2+...+k_n\cdot H_n}

\mathrm{k_{eq} =\dfrac{\sum k_i \cdot H_i}{H}}

Fluxo paralelo à estratificação do solo

Considere agora que o fluxo é perpendicular à estratificação do solo.

Estratificação perpendicular ao fluxo
Estratificação perpendicular ao fluxo

Perceba que agora a vazão é igual em todas as camadas e a perda de carga total é a soma da perda de carga em cada camada.

Pela lei de Darcy, temos que:

\mathrm{Q =k \cdot {h}{L}\cdot A}

\mathrm{h =\dfrac{Q\cdot L}{k\cdot A}}

Como já comentamos, a perda de carga total é a soma da perda em cada camada, logo:

\mathrm{h =h_1+h_2+...+h_n}

\mathrm{\dfrac{Q\cdot L}{k_{eq}\cdot A}=\dfrac{Q\cdot L_1}{k_1\cdot A}+\dfrac{Q\cdot L_2}{k_2\cdot A}+...+\dfrac{Q\cdot L_n}{k_n\cdot A}}

\mathrm{\dfrac{L}{k_{eq}}=\dfrac{L_1}{k_1}+\dfrac{L_2}{k_2}+...+\dfrac{L_n}{k_n}}

Pronto! Com isso finalizamos toda a teoria básica a respeito de permeabilidade no solo e lei de Darcy!

Espero que você tenha entendido tudo e que esse post possa ter te ajudado, mas se ficou alguma dúvida, pode deixar nos comentários que a gente te ajuda no que puder =)

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Até um próximo post, pessoal! =)

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