Lei de Darcy: permeabilidade do solo

Filipe Marinho Geotecnia Deixe um Comentário

Nesse post vamos falar sobre permeabilidade do solo e Lei de Darcy!

Isso mesmo! Você já sabe que o solo possui espaços vazios entre seus grãos ou partículas e que há o fluxo de água por entre esses interstícios.

Então, agora você saberá, de maneira simplificada, como ocorre esse fluxo e quais os principais fatores que influenciam nessa permeabilidade.

Vamos nessa?

Permeabilidade do solo

Já comentamos sobre o conceito de capilaridade aqui no blog, agora falaremos sobre permeabilidade.

Para iniciarmos bem nosso estudo, precisamos entender: o que é permeabilidade?

Permeabilidade é uma propriedade do solo de permitir o escoamento, ou percolação, de água através dele.

Ou seja, quando dizemos que um solo é altamente permeável, queremos dizer que a percolação de água  nesse solo se dá de maneira fácil, entendeu?

E aí você me pergunta: e como posso dizer se um solo é mais ou menos permeável que outro?

Então, a permeabilidade do solo pode ser mensurada através do coeficiente de permeabilidade e tal coeficiente pode ser determinado experimentalmente através da Lei de Darcy.

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Lei de Darcy

A lei de Darcy foi proposta a partir de resultados de experimentos realizados pelo francês Henry Darcy, em 1856.

Considere o seguinte esquema da figura abaixo. Onde os níveis de água h1 e h2 são mantidos constantes e o fluxo de água ocorre da esquerda para direita através do solo.

Esquema do experimento de Darcy

Esquema do experimento de Darcy

Darcy observou que o fluxo ocorria com uma vazão que podia ser obtida através da seguinte formulação, conhecida como Lei de Darcy:

\mathrm{Q=k\cdot \dfrac{\Delta h}{L}\cdot A}

Onde:

  • Q: vazão (m³/s);
  • k: coeficiente de permeabilidade do solo (m/s);
  • A: área transversal a amostra de solo;

Ainda podemos reescrever a Lei de Darcy, com a utilização do conceito de gradiente hidráulico (i):

\mathrm{Q=k\cdot i\cdot A}

Onde:

\mathrm{i=\dfrac{\Delta h}{L}}

 

Podemos entender gradiente hidráulico como a carga que se dissipa ao longo da percolação.

Agora que você já sabe a formulação da Lei de Darcy, vamos falar um pouco sobre o coeficiente de permeabilidade.

Coeficiente de permeabilidade (k)

Sim, como você já sabe, o coeficiente de permeabilidade é um valor numérico que nos dá noção do quão permeável é aquele solo. Quanto maior o coeficiente, maior o fluxo de água no solo, logo, mais permeável é o mesmo.

Então, é interessante que você saiba que o coeficiente de permeabilidade é geralmente um valor muito baixo, por isso é expresso com potência negativa de base 10, como você pode perceber na tabela abaixo, retirada do material do Prof. Marangon.

Coeficientes de permeabilidade do solo

Coeficientes de permeabilidade do solo

É importante que você entenda também que são diversos fatores que influenciam no valor do coeficiente de permeabilidade do solo.

Nesse post não vamos nos aprofundar nesses fatores e suas influências, pois ficaria um post muito extenso.

Entretanto, é interessante que você saiba que fatores como índice de vazios, estrutura do solo, grau de saturação e temperatura influenciam consideravelmente nesse coeficiente.

E agora você me pergunta: como podemos determinar o coeficiente de permeabilidade?

É muito simples! De maneira geral, existem três formas:

  1. A partir de formulações que correlaciona a granulometria do solo com tal coeficiente;
  2. In loco;
  3. Em testes de laboratórios, com uso de permeâmetros!

Aqui, vamos nos focar mais nos permeâmetros, pois são os mais utilizados na prática.

Permeâmetros

Existem dois tipos principais de permeâmetros: o permeâmetro de nível constante e o de nível variado.

Permeâmetro de nível constante

O ensaio com permeâmetro a nível constante consiste basicamente em dois reservatórios com água a níveis constantes e com uma amostra de solo entre esses dois reservatórios.

Permeâmetro de níveis constantes

Permeâmetro de níveis constantes

Como o segundo reservatório é mantido cheio desde o início do ensaio, o volume de água que transbordar, será o volume considerado no fluxo. Logo, medindo o tempo sabe-se a vazão.

Como já era sabida a diferença de níveis entre os reservatórios, bem como comprimento e área transversal da amostra de solo, basta utilizarmos a Lei de Darcy para calcular k.

\mathrm{Q=k\cdot \dfrac{\Delta h}{L}\cdot A}

\mathrm{k=\dfrac{Q\cdot L}{\Delta h \cdot A}}

\mathrm{k=\dfrac{V\cdot L}{\Delta h \cdot A\cdot t}}

Perceba que como é preciso cronometrar o tempo de ensaio para se chegar no valor do coeficiente, o ensaio de permeâmetro com nível constante é utilizado para solos granulares, pois sua utilização para solos finos seria muito demorada e menos precisa.

Logo, para solos finos, utilizamos o ensaio de permeâmetro de níveis variáveis.

Permeâmetro de níveis variáveis

No ensaio de permeabilidade a carga variável acompanha-se os valores de h ao longo do tempo, encontrando-se um valor de h dependente do tempo h(t).

Permeâmetro de cargas variáveis

Permeâmetro de cargas variáveis

Podemos dizer que a vazão de água na bureta, ao longo do tempo é:

\mathrm{Q=-a\cdot \dfrac{dh}{dt}}

Onde:

  • a: é a área da seção da bureta.

Já a vazão que passa pelo solo, seguindo a lei de Darcy, é:

\mathrm{Q=k \dfrac{h}{L}\cdot A}

Igualando-se tais vazões, chegamos a equação:

\mathrm{-a\cdot dh=k \dfrac{h}{L}\cdot A\cdot dt}

Isolando a variável h em um termo e integrando o mesmo em h e integrando o outro termo em t, temos o seguinte resultado:

\mathrm{k=\dfrac{a\cdot L}{A\cdot \Delta t}\cdot ln\left(\dfrac{h_0}{h_1}\right)}

\mathrm{k=2,3 \cdot \dfrac{a\cdot L}{A\cdot \Delta t}\cdot log\left(\dfrac{h_0}{h_1}\right)}

Pronto! Você já sabe como determinar experimentalmente o valor do coeficiente de permeabilidade de uma amostra de solo. Agora, vamos falar um pouco sobre lei de Darcy para solos estratificados.

Lei de Darcy em solos estratificados

Na presença de solos estratificados, ou seja, com variação do coeficiente k em diversas camadas, é necessário calcular um coeficiente equivalente \mathrm{k_{eq}} para simular uma só camada de solo.

Podemos dividir, de maneira simplificada, as estratificações em:

  • Fluxo paralelo à estratificação do solo;
  • Fluxo perpendicular à estratificação do solo.

Vamos agora ver cada um separadamente.

Fluxo paralelo à estratificação do solo

Considere o seguinte esquema que representa esse caso.

Estratificação paralela ao fluxo

Estratificação paralela ao fluxo

Perceba que o gradiente hidráulico é o mesmo para todas as camadas de solo e que a vazão total é a soma de todas as vazões de cada camada, logo:

\mathrm{Q=q_1+q_2+...+q_n}

\mathrm{k_{eq}\cdot i \cdot A =k_1\cdot i \cdot A_1+k_2\cdot i \cdot A_2+...+k_n\cdot i \cdot A_n}

Como a área de cada seção é a multiplicação da altura da camada pela largura da mesma e todas tem a mesma largura, temos:

\mathrm{k_{eq}\cdot H =k_1 \cdot H_1+k_2\cdot H_2+...+k_n\cdot H_n}

\mathrm{k_{eq} =\dfrac{\sum k_i \cdot H_i}{H}}

Fluxo paralelo à estratificação do solo

Considere agora que o fluxo é perpendicular à estratificação do solo.

Estratificação perpendicular ao fluxo

Estratificação perpendicular ao fluxo

Perceba que agora a vazão é igual em todas as camadas e a perda de carga total é a soma da perda de carga em cada camada.

Pela lei de Darcy, temos que:

\mathrm{Q =k \cdot {h}{L}\cdot A}

\mathrm{h =\dfrac{Q\cdot L}{k\cdot A}}

Como já comentamos, a perda de carga total é a soma da perda em cada camada, logo:

\mathrm{h =h_1+h_2+...+h_n}

\mathrm{\dfrac{Q\cdot L}{k_{eq}\cdot A}=\dfrac{Q\cdot L_1}{k_1\cdot A}+\dfrac{Q\cdot L_2}{k_2\cdot A}+...+\dfrac{Q\cdot L_n}{k_n\cdot A}}

\mathrm{\dfrac{L}{k_{eq}}=\dfrac{L_1}{k_1}+\dfrac{L_2}{k_2}+...+\dfrac{L_n}{k_n}}

 

Pronto! Com isso finalizamos toda a teoria básica a respeito de permeabilidade no solo e lei de Darcy!

Espero que você tenha entendido tudo e que esse post possa ter te ajudado, mas se ficou alguma dúvida, pode deixar nos comentários que a gente te ajuda no que puder =)

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Até um próximo post, pessoal! =)

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