Pré-dimensionamento de estruturas

Pré-dimensionamento de pilares, vigas e lajes de concreto

José de Moura Estruturas

Já sabemos que uma das etapas iniciais ao desenvolver um projeto estrutural é a concepção estrutural. Dentro dessa etapa, é o momento de fazermos estimativas sobre as dimensões dos elementos estruturais, ação denominada de pré-dimensionamento. Nesse post veremos algumas noções de como pré-dimensionar estruturas de concreto armado.

Analisaremos então: lajes maciças, vigas e pilares.

Pré-dimensionamento de vigas

Ao analisar um edifício de concreto armado podemos utilizar algumas regras para pré-dimensionar vigas:

  • 1/12 do vão para tramos internos de vigas contínuas;
  • 1/10 do vão para tramos externos de vigas contínuas ou vigas biapoiadas;
  • 1/5 do vão para balanços.

Pré-dimensionamento de lajes

Método presente na ABNT/NBR: 6118 (1980)

Uma forma de estimar a altura útil de uma laje maciça estava presente na ABNT/NBR: 6118 (1980) e é apresentada na seguinte equação:

\mathrm{d_{est}=\dfrac{l}{\psi _2 \cdot \psi _3}}

O valor de \mathrm {\psi _2} varia de acordo com a relação dos vãos da laje e das condições de apoio. Enquanto o valor de \mathrm {\psi _3} varia de acordo com a tensão de escoamento da armadura. Ambos os valores podem ser obtidos na tabela abaixo:

A variável \mathrm {l} representa o menor vão da laje.

Método apresentado em Libânio (2004)

Libânio (2004) fornece a equação abaixo para a obtenção da altura útil estimada:

\mathrm{d_{est}=(2,5-0,1 \cdot n) \cdot \dfrac{l^*}{100}}

\mathrm { l^* \leq \left\{ \begin{array}{ll} l_x \\ 0,7 \cdot l_y \end{array} \right. }

Onde n representa o número de bordas engastadas, \mathrm {l_x} o menor vão e \mathrm {l_y} o maior vão. Sendo assim, esse método não contempla o caso de bordas livres.

Nos dois métodos apresentados acima é necessário somar o valor de \mathrm {d'} ao valor do \mathrm {d_{est}}:

\mathrm {h = d_{est} + c + \dfrac{\phi}{2}}

Método mais imediato

Um método também conhecido (e bastante grosseiro) para estimar a altura da laje é basicamente dividir o menor vão da mesma por 40.

Pré-dimensionamento de pilares

Durante o anteprojeto é comum obter as cargas nos pilares por meio de áreas de áreas de influência. Uma forma aproximada de fazer isso é considerar sempre a metade da distância entre eixos para obter a área de influência.

Área de influência de um pilar

Área de influência de um pilar

Para edifícios residenciais ou comerciais, é possível estimar um carregamento de 12 kN/m² para pavimentos tipo, a fim de calcular uma carga atuante no pilar \mathrm {(N_k)}. Para o pavimento térreo e o pavimento de cobertura pode-se utilizar, respectivamente, 30% e 70% do carregamento informado anteriormente.

Durante o anteprojeto, para consideração dos momentos atuantes no pilares na estimativa inicial de dimensões a carga atuante deve ser corrigida por um fator de acordo com a posição do mesmo:

  • \mathrm {\alpha = 1,3} para pilares intermediários;
  • \mathrm {\alpha = 1,6} para pilares de extremidades;
  • \mathrm {\alpha = 1,8} para pilares de canto.

Lembrando ainda que a norma brasileira aplica coeficientes de majoração adicionais para pilares com a menor dimensão inferior a 19 cm:

Coeficiente de majoração adicional para pilares

Coeficiente de majoração adicional para pilares

Com os fatores acima apresentados a carga estimada por ser calculado por:

\mathrm{N_{d,est}=\gamma_f \cdot \gamma_n \cdot \alpha \cdot N_k}

A partir do \mathrm{N_{d,est}}, podemos chegar em uma área de concreto apenas arbitrando uma deformação para o aço e uma taxa de aço. Considerando uma deformação no aço de 0,002 e uma taxa de aço de 2%, é possível estimar a área de concreto através da equação abaixo:

\mathrm{A_{c,est}=\dfrac{N_{d,est}}{0,85 \cdot f_{cd}+0,84}}

Para a formulação acima, o valor de \mathrm{N_{d,est}} deve estar em kN e o valor de \mathrm{f_{cd}} deve estar em kN/cm².

Exemplo aplicado

Para aplicarmos essa teoria vamos utilizar uma residência com térreo mais dois pavimentos. Como planta baixa foi adaptado um projeto contendo apenas o pavimento térreo, iremos ignorar a inexistência de escadas e adicionar um pavimento superior. A figura abaixo apresenta a arquitetura em questão.

Arquitetura utilizada para pré-dimensioamento

Arquitetura utilizada para pré-dimensionamento

Caso prefira, você pode acompanhar também a resolução das questões através do vídeo abaixo!

Para a locação dos pilares, iniciou-se pelos cincos pilares de contornam a residência. Após isso, foram lançados pilares intermediários limitando a distância entre pilares a seis metros. Vale lembrar que isso não é uma regra e sim uma recomendação, variando assim de caso para caso.

Locação dos pilares na arquitetura

Locação dos pilares na arquitetura

Pré-dimensionamento das vigas

Com os pilares já locados na arquitetura, inicia-se o pré-dimensionamento das vigas. Para essas, será utilizado as dimensões de 14 x 30 cm como mínima.

Todas os vãos de viga presentes nesse projeto caem no caso de vigas biapoiadas ou tramos externos de vigas contínuas, uma vez que, para vigas contínuas temos no máximo a presença de dois tramos. Logo, a altura será estimada apenas dividindo o vão por dez.

Pré-dimensionamento das vigas

Pré-dimensionamento das vigas

Vigas V1, V2, V3 e V5:

\mathrm{h_{est} = \dfrac{425}{10} = 42,5 \rightarrow 40 \; cm}

Viga V4:

\mathrm{h_{est} = \dfrac{325}{10} = 32,5 \rightarrow 30 \; cm}

Vigas V6 e V8:

\mathrm{h_{est} = \dfrac{515}{10} = 51,5 \rightarrow 50 \; cm}

Viga V7:

\mathrm{h_{est} = \dfrac{135}{10} = 13,5 \rightarrow 30 \; cm}

Viga V9:

\mathrm{h_{est} = \dfrac{370}{10} = 37,0 \rightarrow 40 \; cm}

Pré-dimensionamento das lajes

Para o pré-dimensionamento das lajes, dividiremos o menor vão da laje por 40 a fim de estimar a altura da mesma.

Pré-dimensionamento das lajes

Pré-dimensionamento das lajes

Com exceção da laje L5 (pré-dimensionada com 10 cm), todas as demais foram consideradas com 8 cm de espessura (dimensão mínima para lajes de piso não em balanço).

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Observem que a maioria das alturas das vigas e lajes foram arredondadas para o inteiro inferior. Essa decisão dependerá do objetivo do pré-dimensionamento: por exemplo, caso fôssemos prosseguir com cálculos manuais (situação esperada em um trabalho acadêmico) seria interessante arrendondar para valores superiores, a fim de economizar tempo de uma possível correção futura.

Pré-dimensionamento dos pilares

Vamos pré-dimensionar um pilar de cada tipo (intermediário, extremidade e canto) o pilar que possui a maior área de influência.

Pilar intermediário

Vamos iniciar com o pré-dimensionamento do pilar intermediário, cuja área de influência é apresentada na figura abaixo:

Área de influência do pilar intermediário

Área de influência do pilar intermediário

A área de influência do pilar central é 16,2 m². Considerando os carregamentos nos pavimentos térreo e cobertura, respectivamente, 30% e 70% do pavimento tipo e ainda considerando o pavimento tipo com um carregamento de 12 kN/m², teremos:

\mathrm{N_k=12 \cdot 16,2 \cdot (1+0,3+0,7) = 388,8 \; kN}

Considerando agora que a dimensão mínima do pilar é 14 cm e sabendo que se trata de um pilar intermediário, temos:

\mathrm{\gamma_n = 1,25}

\mathrm{\alpha = 1,3}

\mathrm{N_d = 1,4 \cdot 1,25 \cdot 1,3 \cdot 388,8 = 884,5 \; kN}

Aplicando agora a formulação para estimar a área de concreto necessária, teremos:

\mathrm{A_{c,est}=\dfrac{N_{d,est}}{0,85 \cdot f_{cd}+0,84}}

Para um concreto com resistência característica de 25 MPa, o denominador da equação acima e a área estimada serão:

\mathrm{0,85 \cdot f_{cd}+0,84=2,358 \; kN/cm^2}

\mathrm{A_{c,est}=\dfrac{884,5}{2,358}}

\mathrm{A = 375,11 \; cm^2}

Como sabemos que a menor dimensão do pilar foi adotada como 14 cm, resta apenas o cálculo da outra dimensão:

\mathrm{A = 14 \cdot b \rightarrow b=26,8 \approx 27 \; cm}

Pilar de extremidade

Ao pré-dimensionar o pilar de extremidade, encontramos um área de influência de 9,52 m², conforme ilustra a figura abaixo:

Área de influência do pilar de extremidade

Área de influência do pilar de extremidade

Vamos calcular agora a normal característica, levando as mesmas considerações do pilar anterior.

\mathrm{N_k=12 \cdot 9,52 \cdot (1+0,3+0,7) = 228,48 \; kN}

Ainda considerando a dimensão mínima como 14 cm e agora utilizando um \mathrm{\alpha} de pilar de extremidade:

\mathrm{N_d = 1,4 \cdot 1,25 \cdot 1,6 \cdot 228,48 = 639,7 \; kN}

Podemos agora utilizar o mesmo denominador já calculado para o pilar anterior:

\mathrm{A_{c,est}=\dfrac{639,7}{2,358}}

\mathrm{A_{c,est}=271,3 \; cm^2}

Mesmo com a área encontrada, seguiremos com a área mínima de pilares de 360 cm². Como uma das dimensões foi fixada em 14 cm, a outra deve ser no mínimo 26 cm.

Pilar de canto

A área de influência para o pilar de canto é apresentada na figura abaixo:

Área de influência do pilar de canto

Área de influência do pilar de canto

A área de influência do pilar de canto é 7,69 m². Considerando os carregamentos nos pavimentos térreo e cobertura, respectivamente, 30% e 70% do pavimento tipo e ainda considerando o pavimento tipo com um carregamento de 12 kN/m², teremos:

\mathrm{N_k=12 \cdot 7,69 \cdot (1+0,3+0,7) = 184,6 \; kN}

Ainda considerando a dimensão mínima como 14 cm e agora utilizando um \mathrm{\alpha} de pilar de canto:

\mathrm{N_d = 1,4 \cdot 1,25 \cdot 1,8 \cdot 184,6 = 581,5 \; kN}

Como o \mathrm{N_d} encontrando é inferior ao anterior, que já resultou em dimensões mínimas, podemos afirmar que o mesmo também resultará em dimensões mínimas.

Resultado do pré-dimensionamento

O pré-dimensionamento final da estrutura é apresentado na figura abaixo. Vale lembrar que todos os passos realizados até então são apenas pré-dimensionamentos, ou seja, necessitam de todas as verificações de estados limites últimos e de serviço.

Resultado do pré-dimensionamento do edifício

Resultado do pré-dimensionamento do edifício

Recado final

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Qualquer dúvida que você tiver, basta entrar em nossa comunidade no Discord. Apesar de ser uma comunidade pequena estamos sempre procurando pessoas que queiram aprender e agregar conhecimento.

Até a próxima!

Comments 40

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  1. No pré-dimensionamento do pilar, você considerou o pavimento tipo com um carregamento de 12 kN/m², como você chegou a esse valor? poderia ensinar pra gente?

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      Olá, Dayvid,
      Esse é um valor já conhecido que leva em consideração cargas permanentes e acidentais.
      É apenas uma recomendação para dimensionamento de edificações usuais.
      Vale lembrar que, uma vez que estamos realizando apenas o pré-dimensionamento dos pilares, esse valor não necessita ser exatamente o que será utilizado futuramente na etapa de dimensionamento.
      Espero ter ajudado,
      Abraço!

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  2. Muito bom! Obrigada. Se tiver algo publicado ref ao predimensionamento de estruturas de madeira laminada colado tb gostaria de ver.

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  3. Parabéns José, muito bom seu conte udo!
    José, gostaria de saber como faço pra de terminar o carregamento e pré dimensionamento de um projeto estrutural de uma residencia simples de um pavimento, sem laje, apenas a cobertura de telha de fibrocimento.
    Abraço

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      Muito obrigado pelo comentário, Fabio.
      Para o pré-dimensionamento das vigas você pode seguir conforme o apresentado na publicação.
      O que mudará no caso dos pilares é a alteração da carga de 12 kN/m². Por exemplo, poderia utilizar uma carga de 8 kN/m².
      Lembrando que todas essas cargas são apenas estimativas.
      Vale ressaltar que o pré-dimensionamento nunca deve substituir o dimensionamento.
      Espero ter ajudado,
      Abraços

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  4. bom dia

    material muito bom, estou com duvida nos calculo de pré-dimensionamento de uma segundo pavimento usando o pré-moldado em gesso como faço para calcular

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      Olá, Cesar,
      O que irá variar é a quantidade de pavimentos e o valor do carregamento utilizado.
      O valor de 12 kN/m² é válido para edifício usuais de concreto armado.
      Mas é importante adaptar para cada situação.
      Espero ter ajudado,
      Abraços!

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      Olá, Luana,
      Essas três metodologias são apenas para pré-dimensionamento das lajes.
      Servem apenas para ter uma noção inicial da dimensão do elemento.
      Assim como as vigas e pilares, as lajes também necessitam serem dimensionadas posteriormente.
      Espero ter ajudado,
      Abraços!

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  5. Caro josé obrigado, sua didática é excelente, pensando nisso quero uma sugestão sua de livros para o dimensionamento completo de um pilar, tendo em vista que no volume 1 do Prof. Roberto chust não encontrei tal referência, se puder colocar algum tipo de livro que dimensione uma estrutura por completo em concreto armado será de grande valor! Mais uma vez obrigado.

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      Muito obrigado pelo comentário, Gláucio.
      Eu recomendo que dê uma olhada na coleção do professor José Milton de Araújo.
      Ele possui quatro livros com a teoria e alguns exemplos (conforme o livro do Prof. Chust) e um quinto livro apenas com resolução e um edifício.
      Espero ter ajudado,
      Abraços!

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      Olá, Wagner,
      Obrigado pelo questionamento.
      De maneira simplificada o caminho realmente será esse:
      Carregamento sob as lajes -> Vigas -> Pilares -> Fundações -> Solo.
      A publicação não visa obter a carga para o dimensionamento dos pilares.
      É apenas para um pré-dimensionamento inicial das dimensões através de áreas de influência.
      Espero ter ajudado,
      Abraços!

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      Olá, Gustavo,
      Obrigado pelo comentário.
      1 referente ao pavimento tipo, 0,3 referente ao térreo e 0,7 referente a cobertura.
      Isso leva em consideração que o térreo possui 30% da carga do pavimento tipo e a cobertura 70% da carga do pavimento tipo.
      Espero ter ajudado,
      Abraços

  6. α=1,3 para pilares intermediários;
    α=1,6 para pilares de extremidades;
    α=1,8 para pilares de canto.
    Não está desatualizado ?
    O certo não seria:
    α= 1,8 pilares internos ou de extremidade, na direção da maior dimensão;
    α= 2,2 pilares de extremidade, na direção da menor dimensão;
    α= 2,5 pilares de canto.

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      Olá, Layra,
      Obrigado pelo comentário.
      Acredito que a ideia do atualizado só se aplicaria caso os coeficientes fossem retirados de alguma norma.
      Outra questão é analisar se o local de onde tu tirou esses valores pré-dimensionam os pilares da mesma maneira.
      Por fim, esses sãos apenas valores de referência. Uma vez que o pré-dimensionamento nunca dispensa o dimensionamento posterior, se tu perceber que em muitas vezes os valores não estão chegando próximo do dimensionamento final, pode ir incrementando.
      Espero ter ajudado.

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