Armadura dupla em vigas de concreto

José de Moura Estruturas Deixe um Comentário

Você saberia como proceder caso estivesse dimensionando uma viga de concreto e a mesma apresentasse uma profundidade de linha neutra superior aos limites estabelecidos por norma? Uma possível solução seria aumentar a altura da viga. Mas e se essa alternativa, devido a limites arquitetônicos, por exemplo, não for viável? Nesse post você irá aprender uma solução para a situação apresentada: calcular a viga com a utilização de armadura dupla, ou seja, uma armadura adicional na região comprimida da viga.

Conceito de armadura dupla

Imagine uma situação em que o momento solicitante em uma seção é suficiente para atingir uma profundidade de linha neutra igual ao limite de norma (\mathrm{0,45 \cdot d} para concretos até 50 MPa e sem redistribuição de momentos). O momento gerado pelo binário força de tração no aço e de compressão no concreto é igual ao momento solicitante, assim como, as forças de compressão no concreto e tração no aço tem a mesma intensidade.

Situação em que o momento limite foi aplicado

Situação em que o momento limite foi aplicado

O que aconteceria caso fosse adicionado mais momento à seção?

A fim de equilibrar o novo momento, seria necessário que o binário também se eleve para que o equilíbrio entre esforços externos e internos seja mantido, correto? Com intuito de elevar a força de tração bastar adicionar mais área de aço na região tracionada da viga e para elevar a força de compressão, o processo natural seria a linha neutra descer, dessa forma apresentando mais concreto comprimido. Mas lembre-se que a linha neutra não pode baixar, uma vez que a mesma já atingiu os limites estabelecidos por norma.

Sabendo que a linha neutra já está no seu limite, a solução, denominada de armadura dupla, é adicionar área de aço na região comprimida. Dessa forma, a necessidade de elevação da força de compressão é aplicada no aço e não no concreto, não sendo necessário que a linha neutra abaixe.

Equacionamento

A imagem abaixo resume o exposto nos parágrafos anteriores, em que , um momento que levaria a uma linha neutra fora dos limites é dividido é duas parcelas.

Esquema de forças para armadura dupla

Esquema de forças para armadura dupla

O primeiro passo é calcular o \mathrm{M_{lim}} resistido para o caso da seção estar trabalhando no limite da linha neutra (\mathrm{0,45 \cdot d} para concretos até 50 MPa e sem redistribuição de momentos). Com esse momento limite, calcula-se a armadura necessária para resisti-lo (\mathrm{A_{s1}}) e o momento restante (\mathrm{M_2 = M_{Sd} - M_{lim}}).

Para o desenvolvimento, vamos considerar o limite para concretos de até 50 MPa, que vale \mathrm{0,45 \cdot d}. Uma vez que a posição da linha neutra já é conhecida, é imediato o cálculo da força atuante no concreto:

\mathrm{F_c = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot 0,8 \cdot x_{lim}}

\mathrm{F_c = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot 0,8 \cdot 0,45 \cdot d}

\mathrm{F_c = 0,306 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot d}

O momento limite é calculado simplesmente multiplicando essa força no concreto pelo braço de alavanca entre o mesmo e a armadura:

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot z}

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot (d - 0,4 \cdot x_{lim})}

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot (d - 0,4 \cdot 0,45 \cdot d)}

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot (d - 0,18 \cdot d)}

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot 0,82 \cdot d}

\mathrm{M_{lim} = 0,251 \cdot b_w \cdot d^2 \cdot f_{cd}}

É possível então, calcular a área de aço necessária para resistir a esse momento limite:

\mathrm{A_{s1} = \dfrac{M_{lim}}{z_{lim} \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_{s1} = \dfrac{M_{lim}}{0,82 \cdot d \cdot f_{yd}}}

O momento que deve ser resistido pelo segundo binário (\mathrm{F_{s2}} e \mathrm{F_s '}) vale:

\mathrm{M_2 = M_{Sd} - M_{lim}}

O braço de alavanca do segundo binário e a área de aço a ser adicionada na região inferior valem:

\mathrm{z_2 = d - d'}

\mathrm{M_2 = F_{s2} \cdot z_2}

\mathrm{F_{s2} = A_{s2} \cdot f_{yd}}

\mathrm{A_{s2} = \dfrac{M_2}{z_2 \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_{s2} = \dfrac{M_2}{(d - d') \cdot f_{yd}}}

Repare que, para calcularmos os valores de \mathrm{A_{s1}} e \mathrm{A_{s2}} consideramos \mathrm{f_s = f_{yd}}. Se está familiarizado com os domínios de deformação, se lembrará que essa profundidade de linha neutra limite ocorre no domínio 3, garantindo assim que a armação inferior tenha escoado.

Já para armadura que será adicionada na zona comprimida não existe a mesma garantia que a mesma esteja escoando. Sabendo que o para o domínio 3 o encurtamento no concreto vale 3,5 ‰, é possível calcular a deformação na armadura comprimida.

Deformação na armadura comprimida

Deformação na armadura comprimida

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (x_{lim} - d')}{x_{lim}}}

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (0,45 \cdot d - d')}{0,45 \cdot d}}

Com a deformação calculada o próximo passo é obter a tensão atuante da armadura:

\mathrm { f_s ' = \left\{ \begin{array}{ll} 21.000 \; kN/cm^2 \cdot  \epsilon_s ' \text{; se } \epsilon_s ' <  \epsilon_{yd} \\ f_{yd} \text{; se } \epsilon_s ' \geq  \epsilon_{yd} \end{array} \right. }

Por fim, a armação adicionada na região superior será:

\mathrm{A_s ' = \dfrac{M_2}{(d - d') \cdot f_s '}}

Exemplo aplicado

Iremos resolver uma viga já resolvida anteriormente de 14 cm de largura por 40 cm de altura submetida agora a um momento fletor acima do anterior, valendo \mathrm{M_{Sk} = 65 \; kN \cdot m}. Será considerado um concreto de 20 MPa, aço CA50 (\mathrm{f_{yk} = 500 \; MPa}) e um cobrimento de 2,5 cm.

Caso você prefira aprender através de videoaulas, você pode acompanhar a resolução da questão pelo vídeo abaixo:

Calculando inicialmente o momento fletor de cálculo:

\mathrm{M_{Sd}=\gamma_f \cdot M_{Sk}}

\mathrm{M_{Sd}=1,4 \cdot 65 = 91 \; kN \cdot m}

Considerando que serão utilizadas barras de 25 mm com armadura longitudinal e estribos de 5,0 mm, podemos calcular a altura útil da seção:

\mathrm{d = h - c - \phi_t - \dfrac{\phi}{2}}

\mathrm{d = 40 - 2,5 - 0,5 - \dfrac{2,5}{2}}

\mathrm{d = 40 - 4,25}

\mathrm{d = 35,75 \; cm}

Obtenção da posição linha neutra

Podemos calcular agora a posição da linha neutra a através da seguinte equação:

\mathrm{k=\dfrac{M_{Sd}}{b_w \cdot f_{cd}}}

\mathrm{k=\dfrac{9100}{14 \cdot \dfrac{2}{1,4}}}

\mathrm{k= 455 \; cm^2}

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot d \pm \sqrt{0,4624 \cdot d^2 - 1,088 \cdot k}}{0,544}}

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot 35,75 \pm \sqrt{0,4624 \cdot (35,75)^2 - 1,088 \cdot 455}}{0,544}}

\mathrm { x = \left\{ \begin{array}{ll} 62,69 \; cm \\ 26,68 \; cm \end{array} \right. }

Como o exemplo se trata de uma viga submetida à flexão simples (sem presença de esforços normais), não seria possível uma linha neutra que não cortasse a seção. Sendo assim, o resultado \mathrm{x = 62,69} \; cm pode ser descartado.

A linha neutra de 26,68 cm (\mathrm{\dfrac{x}{d} = \dfrac{26,68}{35,75} = 0,75}) supera o limite estabelecido na norma para garantir a ductilidade da peça. Dessa forma, pode-se adotar duas soluções imediatas: a primeira, aumentar a altura da viga; a segunda, dimensionar a viga com armadura dupla. Supondo a existência de limitações arquitetônicas, vamos partir para a segunda solução.

Cálculo da armadura dupla (tracionada)

Uma vez decidido a utilização de armadura dupla, vamos calcular o momento limite resistido por essa seção sem a utilização de armadura de compressão:

\mathrm{M_{lim} = 0,251 \cdot b_w \cdot d^2 \cdot f_{cd}}

\mathrm{M_{lim} = 0,251 \cdot 14 \cdot (35,75)^2 \cdot \dfrac{2}{1,4}}

\mathrm{M_{lim} = 6415,87 \; kN \cdot cm}

Diante desse valor, fica claro a necessidade de utilizar armadura de compressão, uma vez que, o momento limite de 6415,87 kN.cm é inferior ao momento solicitante de 9100 kN.cm.

Vamos agora calcular a área de aço tracionada responsável por resistir ao momento limite:

\mathrm{A_{s1} = \dfrac{M_{lim}}{0,82 \cdot d \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_{s1} = \dfrac{6415,87}{0,82 \cdot 35,75 \cdot \dfrac{50}{1,15}}}

\mathrm{A_{s1} = 5,03 \; cm^2}

O momento que ainda falta ser resistido vale:

\mathrm{M_2 = M_{Sd} - M_{lim}}

\mathrm{M_2 = 9100 - 6415,87 = 2684,13 \; kN \cdot cm}

Calculando agora a área de aço a ser adicionado na região inferior:

\mathrm{z_2 = d - d'}

\mathrm{z_2 = 35,75 - 4,25 = 31,5 \; cm}

\mathrm{A_{s2} = \dfrac{M_2}{z_2 \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_{s2} = \dfrac{2684,13}{31,5 \cdot \dfrac{50}{1,15}}}

\mathrm{A_{s2} = 1,96 \; cm^2}

Dessa forma, a área de aço na região inferior vale:

\mathrm{A_s = A_{s1} + A_{s2} = 6,99 \; cm^2}

Cálculo da armadura dupla (comprimida)

Utilizando as fórmulas de deformação e tensão para a armadura que será adicionada a zona comprimida:

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (0,45 \cdot d - d')}{0,45 \cdot d}}

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (0,45 \cdot 35,75 - 4,25)}{0,45 \cdot 35,75}}

\mathrm{\epsilon_s ' = 0,00258}

Como a deformação do aço comprimido é superior a deformação de escoamento (\mathrm{\epsilon_{yd} = 0,00207}), a tensão atuante no mesmo é igual a tensão de escoamento. Logo, a área de aço comprimida vale:

\mathrm{A_s ' = \dfrac{M_2}{(d - d') \cdot f_s '}}

\mathrm{A_s ' = \dfrac{M_2}{(d - d') \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_s ' = \dfrac{2684,13}{(31,5) \cdot \dfrac{50}{1,15}}}

\mathrm{A_s ' = 1,96 \; cm^2}

Esse resultado já era esperado, uma vez que as forças no binário adicional são iguais (\mathrm{F_{s2} = F_s '}) e as duas estão submetidas à tensão de escoamento, as áreas \mathrm{A_{s2}} e \mathrm{A_s '} também serão iguais.

Resolução por software de flexão simples:

Sabendo que o momento fletor de cálculo vale:

\mathrm{M_d = 9100 \; kN \cdot cm}

Armação necessária pelo software de flexão simples

Armação necessária pelo software de flexão simples

Como esperado, obtivemos os mesmos \mathrm{A_s = 6,99 \; cm^2} na parte inferior da viga e \mathrm{A_s ' = 1,96 \; cm^2} na parte superior da viga utilizando a calculadora.

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Dessa forma, a seção transversal da viga em questão pode ser detalhada da seguinte forma:

Detalhamento da seção com armadura dupla

Detalhamento da seção com armadura dupla

Dimensionamento através de softwares

Ao utilizar softwares comerciais esses dimensionamentos de armaduras duplas, assim como demais verificações, tornam-se automáticos.

Softwares comerciais aumentam a produtividade do engenheiro calculista ao realizar essas verificações automáticas, desde que configurados corretamente. Essa é uma das principais diferenças dos profissionais que se destacam no mercado.

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Considerações finais

Nesse post você aprendeu a dimensionar seções de concreto armado submetidas flexão simples utilizando também uma armadura de compressão. Se você gostou desse texto ou se ainda possui alguma dúvida, deixe uma mensagem nos comentários abaixo!


Fonte:

ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. Rio Grande: Editora Dunas, 2014. v. 1

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado Segundo a NBR 6118:2014. São Carlos: EdUFSCar, 2014.

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