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Armadura dupla em vigas de concreto

https://go.hotmart.com/T27772324E?ap=9951isto queVocê saberia como proceder caso estivesse dimensionando uma viga de concreto e a mesma apresentasse uma profundidade de linha neutra superior aos limites estabelecidos por norma? Uma possível solução seria aumentar a altura da viga. Contudo, e se essa alternativa, devido a limites arquitetônicos, não for viável? Nesse post você irá aprender uma solução para a situação apresentada: calcular a viga com a utilização de armadura dupla, ou seja, uma armadura adicional na região comprimida da viga.

Conceito de armadura dupla

Primeiramente, vamos entender o que é armadura dupla e sua base teórica.

Imagine uma situação em que o momento solicitante em uma seção é suficiente para atingir uma profundidade de linha neutra igual ao limite de norma (\mathrm{0,45 \cdot d} para concretos até 50 MPa e sem redistribuição de momentos).

O momento gerado pelo binário força de tração no aço e de compressão no concreto é igual ao momento solicitante. Além disso, uma vez que não temos esforços axiais, as forças de compressão no concreto e tração no aço tem a mesma intensidade.

Situação em que o momento limite foi aplicado
Situação em que o momento limite foi aplicado

Você sabe o que aconteceria caso fosse adicionado mais momento à seção?

A fim de equilibrar o novo momento, seria necessário que o binário também se eleve para que o equilíbrio entre esforços externos e internos seja mantido, correto?

Com intuito de elevar a força de tração, basta adicionar mais área de aço na região tracionada da viga e para elevar a força de compressão, o processo natural seria a linha neutra descer, dessa forma apresentando mais concreto comprimido. Mas lembre-se que a linha neutra não pode baixar, uma vez que a mesma já atingiu os limites estabelecidos por norma.

Sabendo que a linha neutra já está no seu limite, a solução, denominada de armadura dupla, é adicionar área de aço na região comprimida. Assim sendo, a necessidade de elevação da força de compressão é aplicada no aço e não no concreto, não sendo necessário que a linha neutra abaixe.

Equacionamento

A imagem abaixo resume o exposto nos parágrafos anteriores, em que, um momento que levaria a uma linha neutra fora dos limites é dividido é duas parcelas.

Esquema de forças para armadura dupla
Esquema de forças para armadura dupla

Momento limite para armadura simples

Em primeiro lugar, vamos calcular o \mathrm{M_{lim}} resistido para o caso da seção estar trabalhando no limite da linha neutra (\mathrm{0,45 \cdot d} para concretos até 50 MPa e sem redistribuição de momentos)

Em seguida, calcula-se a armadura necessária para resisti-lo (\mathrm{A_{s1}}) e o momento restante (\mathrm{M_2 = M_{Sd} - M_{lim}}).

Com intuito de deixarmos o desenvolvimento para situações mais usuais, vamos considerar o limite para concretos de até 50 MPa. Uma vez que a posição da linha neutra já é conhecida, é imediato o cálculo da força atuante no concreto:

\mathrm{F_c = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot 0,8 \cdot x_{lim}}

\mathrm{F_c = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot 0,8 \cdot 0,45 \cdot d}

Vamos agora simplificar a equação acima:

\mathrm{F_c = 0,306 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot d}

O momento limite é calculado simplesmente multiplicando essa força no concreto pelo braço de alavanca entre o mesmo e a armadura:

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot z}

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot (d - 0,4 \cdot x_{lim})}

Vamos agora substituir o valor da linha neutra limite:

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot (d - 0,4 \cdot 0,45 \cdot d)}

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot (d - 0,18 \cdot d)}

Por fim, chegamos na equação que iremos utilizar para obtenção do momento limite para utilização da armadura simples:

\mathrm{M_{lim} = F_c \cdot 0,82 \cdot d}

\mathrm{M_{lim} = 0,251 \cdot b_w \cdot d^2 \cdot f_{cd}}

Em seguida, podemos calcular a área de aço necessária para resistir ao momento limite de armadura simples:

\mathrm{A_{s1} = \dfrac{M_{lim}}{z_{lim} \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_{s1} = \dfrac{M_{lim}}{0,82 \cdot d \cdot f_{yd}}}

Momento restante para armadura dupla

O momento restante será resistido pelo segundo binário \mathrm{F_{s2}} e \mathrm{F_s '} e vale:

\mathrm{M_2 = M_{Sd} - M_{lim}}

O braço de alavanca do segundo binário e a área de aço a ser adicionada na região inferior valem:

\mathrm{z_2 = d - d'}

\mathrm{M_2 = F_{s2} \cdot z_2}

Uma vez que, a armação inferior está escoando, temos a relação entre a força atuante no aço e a área de aço:

\mathrm{F_{s2} = A_{s2} \cdot f_{yd}}

Em seguida, podemos combinar as equações apresentadas acima:

\mathrm{A_{s2} = \dfrac{M_2}{z_2 \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_{s2} = \dfrac{M_2}{(d - d') \cdot f_{yd}}}

Repare que, para calcularmos os valores de \mathrm{A_{s1}} e \mathrm{A_{s2}} consideramos \mathrm{f_s = f_{yd}}. Se está familiarizado com os domínios de deformação, se lembrará que essa profundidade de linha neutra limite ocorre no domínio 3, garantindo assim que a armação inferior tenha escoado.

Em contrapartida, para armadura que será adicionada na zona comprimida não existe essa garantia de escoamento. Sabendo que o para o domínio 3 o encurtamento no concreto vale 3,5 ‰, é possível calcularmos a deformação na armadura comprimida.

Deformação na armadura comprimida
Deformação na armadura comprimida

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (x_{lim} - d')}{x_{lim}}}

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (0,45 \cdot d - d')}{0,45 \cdot d}}

Em seguida, com a deformação calculada, o próximo passo é obter a tensão atuante da armadura:

\mathrm { f_s ' = \left\{ \begin{array}{ll} 21.000 \; \dfrac{kN}{cm^2} \cdot  \epsilon_s ' \text{; se } \epsilon_s ' <  \epsilon_{yd} \\ f_{yd} \text{; se } \epsilon_s ' \geq  \epsilon_{yd} \end{array} \right. }

Por fim, a armação adicionada na região superior será:

\mathrm{A_s ' = \dfrac{M_2}{(d - d') \cdot f_s '}}

Exemplo aplicado

A fim de aplicarmos a teoria sobre armadura dupla, vamos dimensionar uma viga já resolvida anteriormente de 14 cm de largura por 40 cm de altura submetida agora a um momento fletor acima do anterior, valendo \mathrm{M_{Sk} = 65 \; kN \cdot m}. Será considerado um concreto de 20 MPa, aço CA50 (\mathrm{f_{yk} = 500 \; MPa}) e um cobrimento de 2,5 cm.

Caso você prefira aprender através de videoaulas, você pode acompanhar a resolução da questão pelo vídeo abaixo:

Primeiramente, vamos calcular o momento fletor de cálculo:

\mathrm{M_{Sd}=\gamma_f \cdot M_{Sk}}

\mathrm{M_{Sd}=1,4 \cdot 65 = 91 \; kN \cdot m}

Vamos considera barras de 25 mm com armadura longitudinal (a favor da segurança) e estribos de 5,0 mm para calcularmos a altura útil da seção:

\mathrm{d = h - c - \phi_t - \dfrac{\phi}{2}}

\mathrm{d = 40 - 2,5 - 0,5 - \dfrac{2,5}{2} = 35,75 \; cm}

Obtenção da posição linha neutra

Antes que passemos para os cálculos expostos nessa publicação, vamos verificar primeiro a profundidade da linha neutra:

\mathrm{k=\dfrac{M_{Sd}}{b_w \cdot f_{cd}}}

\mathrm{k=\dfrac{9100}{14 \cdot \dfrac{2}{1,4}} = 455 \; cm^2}

O valor de \mathrm{k} é uma simplificação explicada na publicação sobre aplicações da formulações de vigas submetidas à flexão.

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot d \pm \sqrt{0,4624 \cdot d^2 - 1,088 \cdot k}}{0,544}}

\mathrm{\dfrac{24,31 \pm \sqrt{0,4624 \cdot (35,75)^2 - 495,04}}{0,544}}

Enfim chegamos nas duas soluções dessa equação do segundo grau:

\mathrm { x = \left\{ \begin{array}{ll} 62,69 \; cm \\ 26,68 \; cm \end{array} \right. }

Visto que o exemplo trata de uma viga submetida à flexão simples (sem presença de esforços normais), não seria possível uma linha neutra fora da seção. Assim sendo, o resultado \mathrm{x = 62,69} \; cm pode ser descartado.

A linha neutra de 26,68 cm (\mathrm{\dfrac{x}{d} = \dfrac{26,68}{35,75} = 0,75}) supera o limite estabelecido na norma para garantir a ductilidade da peça. Dessa forma, teríamos duas soluções imediatas: a primeira, aumentar a altura da viga, caso possível; a segunda, dimensionar a viga com armadura dupla.

Supondo a existência de limitações arquitetônicas, vamos partir para a segunda solução.

Cálculo da armação e do momento limite

Uma vez que decidimos pela utilização de armadura dupla, vamos calcular o momento limite resistido por essa seção sem a utilização de armadura de compressão, ou seja, com armadura simples:

\mathrm{M_{lim} = 0,251 \cdot b_w \cdot d^2 \cdot f_{cd}}

\mathrm{3,51 \cdot (35,75)^2 \cdot \dfrac{2}{1,4} = 6415,87 \; kN \cdot cm}

Assim sendo, fica clara a necessidade de utilizar armadura de compressão, uma vez que, o momento limite de 6415,87 kN.cm é inferior ao momento solicitante de 9100 kN.cm.

Vamos agora calcular a área de aço tracionada responsável por resistir ao momento limite:

\mathrm{A_{s1} = \dfrac{M_{lim}}{0,82 \cdot d \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_{s1} = \dfrac{6415,87}{0,82 \cdot 35,75 \cdot \dfrac{50}{1,15}} = 5,03 \; cm^2}

Cálculo da armadura dupla (armadura tracionada)

Em primeiro lugar, vamos calcular o momento que ainda falta ser resistido:

\mathrm{M_2 = M_{Sd} - M_{lim}}

\mathrm{9100 - 6415,87 = 2684,13 \; kN \cdot cm}

Em seguida, obtemos o braço de alavanca para a armadura dupla inferior:

\mathrm{z_2 = d - d'}

\mathrm{z_2 = 35,75 - 4,25 = 31,5 \; cm}

Por fim, chegamos na área de aço que deverá ser adicionada a \mathrm{A_{s1}}:

\mathrm{A_{s2} = \dfrac{M_2}{z_2 \cdot f_{yd}}}

\mathrm{\dfrac{2684,13}{31,5 \cdot \dfrac{50}{1,15}} = 1,96 \; cm^2}

Dessa forma, a área de aço na região inferior vale:

\mathrm{A_s = A_{s1} + A_{s2} = 6,99 \; cm^2}

Cálculo da armadura dupla (armadura comprimida)

Por fim, só nos falta calcular a armadura dupla que será adicionada na região comprimida. Para isso, em primeiro lugar, iremos verificar a deformação e tensão para a armadura comprimida:

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (0,45 \cdot d - d')}{0,45 \cdot d}}

\mathrm{\dfrac{0,0035 \cdot (16,09 - 4,25)}{16,09} = 0,00258}

Visto que a deformação do aço comprimido é superior a deformação de escoamento (\mathrm{\epsilon_{yd} = 0,00207}), a tensão atuante no mesmo é igual a tensão de escoamento. Portanto, a área de aço comprimida vale:

\mathrm{A_s ' = \dfrac{M_2}{(d - d') \cdot f_s '} = \dfrac{M_2}{(d - d') \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_s ' = \dfrac{2684,13}{(31,5) \cdot \dfrac{50}{1,15}} = 1,96 \; cm^2}

Esse resultado já era esperado, uma vez que as forças no binário adicional são iguais (\mathrm{F_{s2} = F_s '}) e as duas estão submetidas à tensão de escoamento, as áreas \mathrm{A_{s2}} e \mathrm{A_s '} também serão iguais.

Apenas para conferir o resultado encontrado, vamos resolver o mesmo exemplo utilizando nossa Calculadora de Vigas aqui do blog:

Armadura dupla pela Calculadora de Vigas
Armadura dupla pela Calculadora de Vigas

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Assim sendo, poderemos por fim detalhar a seção transversal da viga em questão:

Detalhamento da seção com armadura dupla
Detalhamento da seção com armadura dupla

Dimensionamento através de softwares

Ao utilizar softwares comerciais esses dimensionamentos de armaduras duplas, assim como demais verificações, tornam-se automáticos.

Softwares comerciais aumentam a produtividade do engenheiro calculista ao realizar essas verificações automáticas, desde que configurados corretamente. Essa é uma das principais diferenças dos profissionais que se destacam no mercado.

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Considerações finais

Nesse post você aprendeu a dimensionar seções de concreto armado submetidas flexão simples utilizando também uma armadura de compressão. Se você gostou desse texto sobre armadura dupla, não esqueça de compartilhar com seus amigos!

Caso você queira tanto aprender como contribuir com a engenharia, dá uma conferida na nossa comunidade!


Fonte:

ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. Rio Grande: Editora Dunas, 2014. v. 1

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado Segundo a NBR 6118:2014. São Carlos: EdUFSCar, 2014.

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