Dimensionamento de vigas de concreto: aplicações

José de Moura Estruturas

Uma vez que você já conhece as hipóteses de calculo por trás do dimensionamento de seções submetidas à flexão, podemos avançar para a obtenção das equações em si. Nesse post você aprenderá, como obter as equações para o cálculo da posição da linha neutra e da armação de flexão a ser adicionada à seção a fim de resistir ao momento solicitante.

Equacionamento para cálculo da área de aço

Nas deduções a seguir vamos considerar apenas o caso de concretos de até 50 MPa. Vale lembrar que as diferenças para os concretos com a resistência característica acima de 50 MPa foram abordadas no post sobre hipóteses de cálculo.

Equilíbrio da seção para o dimensionamento

Inicialmente, vamos garantir o equilíbrio da seção transversal. Faremos isso igualando os momentos fletores e esforços normais externos aos momentos e forças internos à seção.

Equilíbrio da seção

Equilíbrio da seção

Considerando uma seção submetida à flexão simples, ou seja, sem a presença de forças normais externas, a força de compressão atuante no concreto deve ser igual a força de tração atuante na armação.

\mathrm{\sum N = 0 \rightarrow F_c = F_s}

O momento solicitante de cálculo \mathrm{M_{Sd}} deve ser igual ao momento gerado pelo binário força no concreto e força na armação.

\mathrm{\sum M = M_{Sd} \rightarrow M_{Sd} = F_c \cdot z}

Cálculo da linha neutra

Conforme apontado nas hipóteses de dimensionamento, apesar da distribuição de tensões de compressão no concreto ser no formato parábola-retângulo, iremos considerar um diagrama retangular com a tensão constate de \mathrm{0,85 \cdot f_{cd}}, distribuído até uma altura de \mathrm{0,8 \cdot x}.

Vista frontal com as forças atuantes

Vista frontal com as forças atuantes

Dessa forma, a área de concreto comprimida vale \mathrm{b_w \cdot 0,8 \cdot x} e para calcular a força de compressão basta multiplicar essa área pela tensão, agora uniforme, de \mathrm{0,85 \cdot f_{cd}}.

\mathrm{F_c = b_w \cdot 0,8 \cdot x \cdot 0,85 \cdot f_{cd}}

\mathrm{F_c = 0,68 \cdot b_w \cdot x \cdot f_{cd}}

Como a tensão de compressão é considerada agora como uniforme, o ponto de aplicação da força de resultante recém calculada será aplicada no ponto médio do bloco de tensões (distante \mathrm{0,4 \cdot x} da borda comprimida). Sendo assim, o braço de alavanca \mathrm{z} pode ser calculado por \mathrm{z = d- 0,4 \cdot x}.

Retornando ao equilíbrio dos momento, teremos:

\mathrm{M_{Sd} = F_c \cdot z}

\mathrm{M_{Sd} = 0,68 \cdot b_w \cdot x \cdot f_{cd} \cdot (d- 0,4 \cdot x)}

Podemos rearranjar a equação acima da seguinte forma:

\mathrm{M_{Sd} = (-0,272 \cdot x^2 + 0,68 \cdot d \cdot x) \cdot b_w \cdot f_{cd}}

\mathrm{\dfrac{M_{Sd}}{b_w \cdot f_{cd}}  = -0,272 \cdot x^2 + 0,68 \cdot d \cdot x}

\mathrm{0,272 \cdot x^2 - 0,68 \cdot d \cdot x + \dfrac{M_{Sd}}{b_w \cdot f_{cd}} = 0}

Fazendo \mathrm{k=\dfrac{M_{Sd}}{b_w \cdot f_{cd}}} e resolvendo essa equação do segundo grau em função de \mathrm{x}, podemos obter a posição da linha neutra:

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot d \pm \sqrt{(-0,68 \cdot d)^2 - 4 \cdot 0,272 \cdot k}}{2 \cdot 0,272}}

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot d \pm \sqrt{0,4624 \cdot d^2 - 1,088 \cdot k}}{0,544}}

Cálculo da área de aço

Com a altura da linha neutra calculada, pode-se calcular o valor do braço de alavanca \mathrm{z = d - 0,4 \cdot x}. Sabendo que \mathrm{F_c = F_s}, temos:

\mathrm{M_{Sd} = F_s \cdot z}

Podemos substituir a força na armadura pelo produto da área de aço pela tensão:

\mathrm{M_{Sd} = (A_s \cdot f_s) \cdot z}

\mathrm{A_s =\dfrac{M_{Sd}}{z \cdot f_s}}

Caso ainda tenha dúvidas sobre os domínios de dimensionamento, separei um vídeo para você que explica passo a passo:

Para os domínios 2 e 3, em que a deformação do aço é superior a deformação de escoamento, a tensão no aço é igual a tensão de escoamento do mesmo. Dessa forma:

\mathrm{f_s = f_{yd}}

\mathrm{A_s =\dfrac{M_{Sd}}{z \cdot f_{yd}}}

Exemplo aplicado

Como primeiro exemplo, vamos resolver uma viga de 14 cm de largura por 40 cm de altura submetida a um momento fletor característico positivo (traciona a borda inferior da viga) \mathrm{M_{Sk} = 20 \; kN \cdot m}. Será considerado um concreto de 20 MPa, aço CA50 (\mathrm{f_{yk} = 500 \; MPa}) e um cobrimento de 2,5 cm.

Caso prefira, você pode acompanhar também a resolução das questões através do vídeo abaixo!

Calculando inicialmente o momento fletor de cálculo:

\mathrm{M_{Sd}=\gamma_f \cdot M_{Sk}}

\mathrm{M_{Sd}=1,4 \cdot 20 = 28 \; kN \cdot m}

Considerando que serão utilizadas barras de 12,5 mm com armadura longitudinal e estribos de 5,0 mm, podemos calcular a altura útil da seção:

\mathrm{d = h - c - \phi_t - \dfrac{\phi}{2}}

\mathrm{d = 40 - 2,5 - 0,5 - \dfrac{1,25}{2}}

\mathrm{d = 36,4 \; cm}

Obtenção da posição linha neutra

Utilizando a equação apresentada anteriormente, podemos calcular agora a posição da linha neutra:

\mathrm{k=\dfrac{M_{Sd}}{b_w \cdot f_{cd}}}

\mathrm{k=\dfrac{2800}{14 \cdot \dfrac{2}{1,4}}}

\mathrm{k= 140 \; cm^2}

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot d \pm \sqrt{0,4624 \cdot d^2 - 1,088 \cdot k}}{0,544}}

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot 36,4 \pm \sqrt{0,4624 \cdot (36,4)^2 - 1,088 \cdot 140}}{0,544}}

\mathrm { x = \left\{ \begin{array}{ll} 84,9 \; cm \\ 6,1 \; cm \end{array} \right. }

Como o exemplo se trata de uma viga submetida à flexão simples (sem presença de esforços normais), não seria possível uma linha neutra que não cortasse a seção. Sendo assim, o resultado \mathrm{x = 84,9} \; cm pode ser descartado.

Uma vez que o limite da linha neutra do domínio 2 vale \mathrm{x_2 = 0,259 \cdot d = 9,4 \; cm} e a linha neutra encontrada (\mathrm{x = 6,1 \; cm}) foi inferior a esse valor, a ruptura no Estado Limite Último é dada no domínio 2.

Cálculo da área de aço

É possível então determinar agora o valor do braço de alavanca:

\mathrm{z = d - 0,4 \cdot x}

\mathrm{z = 36,4 - 0,4 \cdot 6,1 = 33,9 \; cm}

Visto que a seção encontra-se no domínio 2, a tensão atuante na armação é igual a tensão de escoamento da mesma. No caso, como estamos utilizando aço CA50, a tensão de escoamento característica e de cálculo valem:

\mathrm{f_{yk} = 500 \; MPa = 50 \; kN/cm^2}

\mathrm{f_{yd} = \dfrac{f_{yk}}{\gamma_s} = \dfrac{50}{1,15}}

\mathrm{f_{yd} = 43,5 \; kN/cm^2}

Em posse do valor do braço de alavanca e da tensão atuante na armação (que no caso é igual a tensão de escoamento) podemos calcular a área de aço necessária:

\mathrm{A_s =\dfrac{M_{Sd}}{z \cdot f_{yd}}}

\mathrm{A_s =\dfrac{2800}{33,9 \cdot 43,5}}

\mathrm{A_s = 1,9 \; cm^2}

Resolução por software de flexão simples

Sabendo que o momento fletor de cálculo vale:

\mathrm{M_d = 1,4 \cdot 20 \cdot 100 = 2800 \; kN \cdot cm}

Armação necessária pelo software de flexão simples

Armação necessária pelo software de flexão simples

Como esperado, obtivemos os mesmos \mathrm{As = 1,90 \; cm^2} utilizando a calculadora.

E-book Completo + Calculadora de Vigas

Tenha acesso GRATUITAMENTE aos nossos E-book Como dimensionar e detalhar vigas de concreto armado + Software para Cálculo da Área de aço longitudinal e transversal



Calculadora de flexão simples

Após o dimensionamento da área de aço necessária, o próximo passo será desenvolver o detalhamento da seção transversal para a viga em questão.

Detalhamento resultado do dimensionamento

Detalhamento resultado do dimensionamento

Recado final

Se você se interessou por esse conteúdo, quero convidar você para conferir o curso Essencial em Concreto Armado do professor Rangel Lages em que você irá aprender a utilizar o software TQS (na minha opinião, o melhor software do mercado) passando por TODAS as etapas (desde a concepção estrutural até elaboração das pranchas) necessárias para o desenvolvimento de um projeto completo.

Nesse post você aprendeu a dimensionar seções submetidas flexão simples.

Qualquer dúvida que você tiver, basta entrar em nossa comunidade no Discord. Apesar de ser uma comunidade pequena estamos sempre procurando pessoas que queiram aprender e agregar conhecimento.


Fonte:

ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. Rio Grande: Editora Dunas, 2014. v. 1

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado Segundo a NBR 6118:2014. São Carlos: EdUFSCar, 2014.

Comments 4

  1. Gostaria muito de baixar o soft que você nos disponibilizou, porém, após diversas tentativas ainda não consegui. Seria possivel você criar um link para baixarmos direto da nuvem?

    1. Post
      Author
    1. Post
      Author

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *