Exercícios de equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli: exercícios resolvidos

Filipe Marinho Recursos Hídricos 8 Comments

Se você chegou até esse post, parabéns!

Tenho certeza que você já domina o conteúdo de Equação de Bernoulli e também suas aplicações que você aprendeu no nosso blog!

Agora, para fixar seus conhecimentos, vamos resolver juntos três exercícios. Dois deles de equação de Bernoulli para fluidos ideais e um exercício para fluidos reais, ou seja, com a consideração da perda de carga no escoamento.

Você pode acompanhar também a resolução das questões acompanhando o vídeo abaixo, que eu preparei para te ajudar!

Os exercícios do post foram baseados em no livro Mecânica dos fluidos de Franco Brunetti. Então, caso você queira se aprofundar sobre o assunto, sugiro que dê uma conferida nesse livro!

Vamos lá?

Exercício 1

A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

Esquema do exercício 1

Esquema do exercício 1

Resolução

Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m} : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².
Esquema do exercício 2

Esquema do exercício 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

Esquema para resolução do exercício 2

Esquema para resolução do exercício 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a} é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m} é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:

  • Perdas de carga linear na tubulação: 0,08 m/m;
  • Perda de carga concentrada por joelho 90º: 0,5 m/peça;
  • Perda de carga concentrada por Tê de saída lateral: 2,0 m/peça;
  • Perda de carga concentrada por registro de gaveta: 1,2 m/peça;
  • Despreze as cargas cinéticas;
Esquema do exercício 3

Esquema do exercício 3

Resolução

Essa questão trata da equação de Bernoulli para fluidos reais, ou seja, deveremos considerar as perdas de carga durante o escoamento do fluido.

Lembrando que a questão já apresenta os valores das perdas de carga distribuídas e pontuais, porém você pode também aprender no nosso blog, como calculá-las.

Para essa questão, iremos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B apresentados na figura acima. Temos então, considerando a perda de carga:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma } + \Delta H}

Como a questão pede que desconsideremos a carga cinética e afirma que a carga de pressão mínima no chuveiro é de 1,0 mH2O, temos:

\mathrm{1,10 + 0,90 + h = 1,50 - 0,20 + 1,0 + \Delta H}

\mathrm{h = 0,3 + \Delta H}

Agora, basta calcularmos a perda de carga entre os pontos A e B. Para isso, calcularemos as perdas de carga distribuídas e pontuais. Sabemos que a perda de carga distribuída é 0,08m/m de tubulação.

Somando todo o percurso da tubulação, temos um comprimento de 6,20m, logo a perda de carga distribuída no trecho é:

\mathrm{\Delta {H_d} = 6,20 \cdot 0,08}

\mathrm{\Delta {H_d} = 0,50m}

Para o cálculo das perdas de carga pontuais, devemos somar a perda de carga para cada peça da tubulação:

  • 5 joelhos 90º: 5 x 0,5 = 2,5m;
  • 1 tê de saída lateral: 2,0m;
  • 2 registros de gaveta abertos: 2 x 1,2 = 2,4 m;

Logo, a perda de carga pontual é:

\mathrm{\Delta {H_p} = 6,9m}

A perda de carga total na tubulação é, então:

\mathrm{\Delta H = 6,9 + 0,5 = 7,4m}

Então, o valor de h, para que o chuveiro tenha uma pressão mínima de 1,0 mH2O é:

\mathbf{h = 0,3 + 7,4 = 7,7m}

Nesse post, através dos exercícios resolvidos, você pode fixar os conteúdos aprendidos nos posts anteriores de equação de Bernoulli e também suas aplicações práticas.

 

Caso você ainda tenha alguma dúvida, deixa nos comentários que a gente responde!

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Até a próxima!

 

Comments 8

    1. Post
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      Bom dia, Nana. Tudo bem? Com os dados da questão não é possível calcular v1 e v2, por isso é anunciado na questão para que as cargas cinéticas sejam desprezadas, por isso eu as desconsiderei na resolução.

    1. Post
      Author

      Bom dia, Ana! Tudo bem?
      Não encontrei tal divergência. Poderia esclarecer, por favor?
      Pois assim fica melhor de te responder e melhorar o conteúdo do nosso blog.
      Obrigado pelo comentário!

    1. Post
      Author

      Bom dia, Vitória!
      A velocidade no ponto A é nula porque estamos analisando um ponto na superfície do fluido e não na tubulação. Como está na superfície de um fluido contido em um recipiente, podemos considerar que nesse ponto o fluido está em repouso.
      Espero ter ajudado!

  1. gostei muito de ver a forma de resuluçao dos exercicios resolvidos. gostaria saber se nao tens gravação em video aulas?

    1. Post
      Author

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