Dimensionamento de sapatas sob carga centrada

José de Moura Estruturas

A partir do momento que você já aprendeu como calcular as dimensões de sapatas submetidas a cargas centradas, o próximo passo será calcular a área de aço necessária para resistir aos esforços de tração.

Nesse post você irá aprender a calcular a área de aço necessária para sapatas submetidas a cargas centradas, ou seja, sem momentos solicitantes.

Método CEB-70 para sapatas

Um método bastante conhecido para o dimensionamento da área de aço de sapatas de concreto armado é o presente na CEB-70.

Condição de aplicação do método

Antes de avançarmos para o método em si, é necessário conhecermos as condição em que é possível aplicar o mesmo.

Conforme proposto pelo CEB-70, para aplicação desta formulação em sapatas, as mesmas devem apresentar a seguinte condição geométrica:

\mathrm{\dfrac{h}{2} \leq c \leq 2 \cdot h }

Condição de geometria para aplicação do método CEB-70 em sapatas

Condição de geometria para aplicação do método CEB-70 em sapatas

Conceitos do método

Agora sim podemos conferir o entendimento do método para o cálculo de sapatas de concreto armado.

Esse método consiste em analisar a sapata como uma viga em balanço. Dessa forma, essa viga estaria submetida a um carregamento vertical de baixo para cima referente a reação do solo, decorrente dos esforços solicitantes, na sapata.

Esquema de dimensionamento de sapatas centradas

Esquema de dimensionamento de sapatas centradas

Como apresentado na figura acima, a seção S-S utilizada para dimensionamento passa a uma distância \mathrm{x = c + k \cdot b_p} da face da sapata.

Onde c, vale o balanço (ou aba) da sapata naquela direção e como comentado em publicações anteriores vale:

\mathrm{c = \dfrac{B-b_p}{2}}

O \mathrm{b_p} vale a dimensão do pilar naquela direção e o \mathrm{k} vale o percentual da dimensão do pilar que a seção de dimensionamento irá avançar na direção do pilar.

O valor de \mathrm{k} varia de acordo com a literatura pesquisada, mas comumente utiliza-se \mathrm{k=0,15}. Assim sendo, podemos calcula o comprimento da viga em balanço a partir da equação abaixo:

\mathrm{x = \dfrac{B - b_p}{2} + 0,15 \cdot b_p}

Cálculo da reação do solo

No caso estudado nessa publicação, temos sapatas submetidas a cargas centradas. Assim sendo, a tensão atuante no solo pode ser calculada pela equação abaixo:

\mathrm{\sigma = \dfrac{N}{S_{sap}} }

Essa formulação nos dará a reação do solo por unidade de área, que será utilizada para o dimensionamento da armação.

Para transformar essa reação por área em uma reação por unidade de comprimento, basta que multipliquemos a mesma por uma largura qualquer. Isso ficará mais claro quando formos resolver um sapata mais adiante nesse mesmo post.

Reação distribuição para sapatas sob carga centrada

Reação distribuição para sapatas sob carga centrada

Recomendo multiplicar a reação por área por uma largura de 1,0 m. Uma vez que, com isso teremos uma carregamento linear representando uma largura de 1,0 m da sapata e consequentemente, a área de aço calculada será também obtida para cada metro.

Obtenção do momento solicitante

Agora que já temos o esquema de reação distribuída para a viga em balanço que representa uma seção da sapata, basta calcularmos o momento atuante na mesma (seção S-S).

A força equivalente ao bloco retangular pode ser obtida pela área do retângulo:

\mathrm{ F = q \cdot x }

Já que se trata de um retângulo a posição do ponto de aplicação estará localizada na metade do comprimento do mesmo:

\mathrm{ d = \dfrac{x}{2} }

Esquema para o cálculo do momento atuante na sapata

Esquema para o cálculo do momento atuante na sapata

Dessa forma, o momento máximo será calculado pela multiplicação da força equivalente e da distância do ponto de aplicação da mesma:

\mathrm{ M_{máx} = \dfrac{q \cdot x^2}{2} }

Área de aço de sapatas

É possível utilizarmos o mesmo entendimento utilizado para o dimensionamento de vigas para o dimensionamento de sapatas.

Sendo assim, a área de aço necessária será basicamente um momento atuante dividido pelo produto do braço de alavanca e tensão de escoamento do aço utilizado.

\mathrm{ As = \dfrac{M}{Z \cdot f_{yd}} }

Conforme Machado (1985) afirma, para o caso sapata com regiões inclinadas, podemos aproximar o braço de alavanca para \mathrm{z = 0,85 \cdot d}, garantindo um erro máximo de 10%.

Dessa forma, a área de aço pode ser calculada pela seguinte formulação:

\mathrm{ As = \dfrac{M_{Sd}}{0,85 \cdot d \cdot f_{yd}} }

Vale lembrar que como o momento utilizado nessa etapa foi obtido para uma faixa de 1,0 m de largura, a área de aço também equivale a uma faixa de mesma largura.

Armadura mínima para sapatas

Na literatura é possível encontrar algumas proposições para armadura mínima em sapatas.

Nessa publicação iremos considerar como armadura mínima como uma taxa da área de concreto da seção levando em consideração a superfície inclinada, conforme ilustra a figura abaixo.

Área para armadura mínima de sapatas

Área para armadura mínima de sapatas

Como se trata de um trapézio somado a um retângulo, esta área pode ser calculada pela seguinte expressão:

\mathrm{ A_c = B \cdot h_0 + \dfrac{B + b_p}{2} \cdot (h - h_0) }

Analisando agora a taxa que multiplica a área de concreto, iremos utilizar o mesmo \mathrm{\rho_{min}} utilizado para vigas de concreto armado.

O valor de \mathrm{\rho_{min}} pode ser obtido na tabela abaixo, fornecida na ABNT/NBR: 6118 (2014), para cada classe de concreto.

Taxa mínima de armadura

Taxa mínima de armadura

Dessa forma, o cálculo da área de aço mínima será:

\mathrm{As_{min} = \rho_{min} \cdot A_c}

É interessante que ao obtermos essa área também dividirmos a mesma pela largura da seção analisada, a fim de obter também uma área de aço por metro de largura. Com isso, poderemos comparar a mesma com a área de aço calculada.

Exemplo aplicado

A fim de aplicarmos os conhecimentos aprendidos nessa publicação, daremos prosseguimento a uma sapata que já teve suas dimensões dimensionadas em um post anteriore.

Se trata de uma sapata, calculada para um concreto classe C30, que suporta um pilar de 20 x 40 cm e esta submetida a uma carga vertical de 500 kN (valor característico). Nessa resolução, encontramos as seguintes dimensões para solução da sapata: 125 x 145 x 40 x 20.

Verificação da condição da CEB-70

Inicialmente, é necessário verificar se a condição \mathrm{\dfrac{h}{2} \leq c \leq 2 \cdot h } é atendida.

No caso, temos que \mathrm{ c = \dfrac{145-40}{2} = 52,5 \; cm }. Então, uma vez que \mathrm{ h = 40 \; cm }, temos que:

\mathrm{20 \leq 52,5 \leq 80 }

Como \mathrm{c} se encontra dentro do intervalo aceitável, podemos continuar com o método.

Cálculo da reação do solo

No caso, temos uma carga de 500 kN sobre uma área de 125 x 145 cm. Dessa forma, calculando a reação por área no solo:

\mathrm{\sigma = \dfrac{500}{125 \cdot 145}}

\mathrm{\sigma = 0,028 \; kN/cm²}

Para obtermos agora o carregamento que será distribuído linearmente em uma faixa de 1,0 m, basta multiplicarmos por 100 cm.

\mathrm{q = \sigma \cdot 100 \; cm}

\mathrm{q = 2,8 \; kN/cm}

Carga distribuída por cm na faixa

Carga distribuída por cm na faixa

Calculando o momento na seção

Vamos agora calcular o momento que será utilizado para o dimensionamento da armação da sapata.

Um vez que já temos o carregamento distribuído, falta apenas calcular o comprimento da viga equivalente:

\mathrm{x = c + 0,15 \cdot b_p}

Nesse caso, iremos considerar o \mathrm{b_p} como o maior valor entre os dois:

\mathrm{x = \dfrac{145-40}{2} + 0,15 \cdot 40}

\mathrm{x = 58,5 \; cm}

O momento atuante da seção do engastamento então será:

\mathrm{ M_{máx} = \dfrac{q \cdot x^2}{2} }

\mathrm{ M_{máx} = \dfrac{2,8 \cdot 58,5^2}{2} }

Obtemos então o momento característico:

\mathrm{ M_{máx} = 4791 \; kN \cdot cm}

Área de aço da sapata

Em posse agora do momento característico podemos partir para o dimensionamento da área de aço.

Conforme comentado anteriormente, iremos considerar o braço de alavanca igual a \mathrm{ 0,85 \cdot d }.

\mathrm{ As = \dfrac{M_{Sd}}{0,85 \cdot d \cdot f_{yd}} }

Para a altura útil, vamos utilizar \mathrm{ d = h - 5 = 35 \; cm }. Como utilizaremos um aço CA-50, o valor de \mathrm{f_{yd}} será 43,48 kN/cm².

Assim sendo, a área de aço necessária será:

\mathrm{ As = \dfrac{1,4 \cdot 4791}{0,85 \cdot 35 \cdot 43,48} }

\mathrm{ As = 5,19 \; cm^2 }

Vamos lembrar que essa área de aço foi obtida para uma faixa de 1,0 m, ou seja, é necessário colocar 5,19 cm² por metro.

Área de aço mínima

Verificando agora a área de aço mínima, inicialmente vamos calcular a área de aço do conjunto trapézio-retângulo:

\mathrm{ A_c = B \cdot h_0 + \dfrac{B + b_p}{2} \cdot (h - h_0) }

Analisando a seção em que a largura é de 145 cm:

\mathrm{ A_c = 145 \cdot 20 + \dfrac{145 + 40}{2} \cdot (40 - 20) }

\mathrm{ A_c = 4750 \; cm^2 }

Como se trata de um concreto com resistência característica de 30 MPa, utilizaremos \mathrm{\rho_{min} = 0, 15 \%}. Assim sendo, a área de aço mínima será:

\mathrm{As_{min} = \rho_{min} \cdot A_c}

\mathrm{As_{min} = \dfrac{0,15}{100} \cdot 4750 = 7,125 \; cm^2}

Dividindo essa área de aço por 1,45 m, a largura considerado no cálculo da área de concreto, vamos obter a área de aço mínima por metro:

\mathrm{As_{min} = \dfrac{7,125}{1,45} = 4,91 \; cm^2/m}

Como a área de aço mínima é inferior a área de aço calculada, seguiremos a escolha da bilola com a área calculada.

Seleção da armação

Agora que já sabemos que será necessário utilizar uma área de aço de 5,19 cm²/m, vamos utilizar uma tabela que nos forneça a área de aço por metro a partir da bitola e do espaçamento.

Tabela de área de aço por metro

Tabela de área de aço por metro

Conforme apresentado na tabela acima, podemos propor como solução bitolas de 10.0 mm a cada 15 cm, o que fornece uma área de aço efetiva de 5,33 cm²/m, superior aos 5,19 cm²/m calculados.

 

Parabéns por ter chegado até aqui! Nesse momento você aprendeu a dimensionar sapatas de concreto armado submetidas a carregamentos centrados. Se você gostou desse texto ou se ainda possui alguma dúvida, deixe uma mensagem nos comentários abaixo!


Fonte:

ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. Rio Grande: Editora Dunas, 2014. v. 4

BASTOS, P. S. S. Sapatas de fundação. 2016 Notas de Aula.

MACHADO, C.P. Edifícios de Concreto Armado – Fundações. São Paulo, FDTE, EPUSP, nov. 1985, p.11.31-11.33.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

Comments 2

    1. Post
      Author

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *