Dimensionamento de Viga T

Você sabia que a maioria das vigas em edifícios usuais de concreto armado podem ser dimensionadas como viga do formato de T? Pois é, isso se dá devido ao fato de que vigas e lajes não são elementos independentes e, de fato, trabalham em conjunto.

Nas próximas linhas você irá aprender como levar em consideração a interação entre vigas e lajes e como dimensionar uma viga T.

Nomenclaturas e variáveis de uma viga T

Antes de partimos para o equacionamento é importante nomearmos as variáveis e as regiões de uma viga de seção T:

• Mesa: para os casos em que se trata de interação entre viga e laje, equivale a parcela da laje. Também é denominada de flange;
• Alma: para os casos em que se trata de interação entre viga e laje, equivale a própria viga. Também é denominada de nervura;
• \mathrm{b_f}: largura da mesa;
• \mathrm{b_w}: largura da alma;
• \mathrm{h_f}: espessura da mesa;
• \mathrm{h}: altura total da viga.

Largura colaborante de vigas de seção T

Uma vez que vigas e lajes trabalham de maneira monolítica, a tensão normal que surge na viga devido à flexão, não se limita a região da mesma, conforme ilustra a figura abaixo.

A norma brasileira ABNT/NBR: 6118 (2014) nos permite levar em consideração a ação entre viga e laje através da utilização de uma largura colaborante \mathrm{b_f}.

Sabendo que \mathrm{b_2} equivale a distância de face a face entre duas vigas e \mathrm{b_4} equivale a distância da face da viga ao fim da laje (caso não tenha outra viga nesse sentido), os valores \mathrm{b_1} e \mathrm{b_3} que devem ser acrescidos para cada lado, valem:

\mathrm { b_1 \leq \left\{ \begin{array}{ll} 0,5 \cdot b_2 \\ 0,1 \cdot a \end{array} \right. }

\mathrm { b_3 \leq \left\{ \begin{array}{ll} b_4 \\ 0,1 \cdot a \end{array} \right. }

A variável \mathrm{a} equivale a distância entre dois pontos de momento nulo e caso não seja calculada analisando o diagrama de momentos fletores, pode ser estimada em função do comprimento da viga:

a) viga simplesmente apoiada: \mathrm{a=1,00 \cdot l};

b) tramo com momento em uma só extremidade: \mathrm{a=0,75 \cdot l};

c) tramo com momentos nas duas extremidades: \mathrm{a=0,60 \cdot l};

d) tramo em balanço: \mathrm{a=2,00 \cdot l}.

Situações de cálculo de viga T

A diferença entre as formulações utilizadas no dimensionamento de vigas retangulares para uma viga T é que, caso a profundidade da linha neutra seja superior a espessura da mesa, a área comprimida não será mais uma região retangular.

Diante do exposto no parágrafo anterior, o primeiro passo no dimensionamento de um viga de seção T deve ser calcular a altura da linha para analisar se a mesma se encontra dentro da mesa da viga. Esse cálculo é realizado levando em conta uma seção retangular de largura \mathrm{b_f}.

O cálculo da linha pode ser realizado de acordo com a fórmula abaixo:

\mathrm{k=\dfrac{M_{Sd}}{b_f \cdot f_{cd}}}

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot d \pm \sqrt{0,4624 \cdot d^2 - 1,088 \cdot k}}{0,544}}

A partir desse cálculo teremos duas possibilidades: a linha neutra cair na mesa ou na alma na viga T.

Linha neutra na mesa da viga

Caso a linha neutra caia na mesa da viga, ou seja, \mathrm{x \leq h_f}, a região comprimida será retangular:

Nessa condição, o cálculo da área de aço será realizado de maneira idêntica a uma viga retangular de largura \mathrm{b_f}.

Linha neutra na alma da viga sem armadura dupla

Caso a linha neutra caia na alma, ou seja, caso \mathrm{x > h_f}, a região comprimida terá um formato de T.

Dessa forma, dividiremos o momento solicitante em duas parcelas: a primeira, \mathrm{M_1}, resistida pelas duas abas da mesa e a segunda parcela, \mathrm{M_2}, resistida pela alma. Para cada uma dessas parcelas serão calculadas as áreas de aço necessárias.

Primeira parcela: compressão nas abas

Para a primeira parcela, a área comprimida vale \mathrm{A_{c1} = 2 \cdot \left(\dfrac{b_f - b_w}{2}\right) \cdot h_f}. A força atuante nessa região é calculada apenas multiplicando essa área pela tensão atuante:

\mathrm{F_{c1} = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot \left( b_f - b_w \right) \cdot h_f}

Agora basta multiplicarmos pelo braço de alavanca (que vale a distância entre o centro de compressão e as barras de aço) para obtermos o momento resistente \mathrm{M_1}:

\mathrm{M_1 = F_{c1} \cdot z_1}

\mathrm{M_1 = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot \left( b_f - b_w \right) \cdot h_f \cdot \left(d - \dfrac{h_f}{2} \right)}

Segunda parcela: compressão na alma

O momento restante, \mathrm{M_2}, deverá ser resistido pela alma da viga:

\mathrm{M_2 = M_{Sd} - M_1}

Em posse do momento que deve ser resistido pela alma, o próximo passo é calcular a profundidade da linha neutra real. Essa será calculada pela equação abaixo:

\mathrm{k=\dfrac{M_2}{b_w \cdot f_{cd}}}

\mathrm{x = \dfrac{0,68 \cdot d \pm \sqrt{0,4624 \cdot d^2 - 1,088 \cdot k}}{0,544}}

Repare que já utilizamos essa equação nesse post, as únicas alterações que fizemos foi a utilização de \mathrm{M_2} e \mathrm{b_w}. Basicamente o que estamos calculando é a altura da região de concreto comprimida em uma largura \mathrm{b_w} para resistir a um momento \mathrm{M_2}.

Cálculo da área de aço

Por fim, a área de aço total será o somatório das duas áreas de aço:

\mathrm{A_s = A_{s1} + A_{s2}}

\mathrm{A_s = \dfrac{M_1}{ \left(d - \dfrac{h_f}{2} \right) \cdot f_{yd}} + \dfrac{M_2}{(d - 0,4 \cdot x) \cdot f_{yd}}}

Observe que, essas duas parcelas de áreas de aço foram calculadas considerando as barras escoando. Lembre-se que de acordo com as hipóteses de cálculo a linha neutra é limitada de forma que seja garantido a ductilidade da peça. Dessa forma, o escoamento das barras inferiores é garantido.

Linha neutra na alma com armadura dupla

Caso o cálculo realizado acima resulte em uma linha neutra superior aos valores permitidos por norma (apenas como exemplo, para concretos de até 50 MPa sem distribuição de momentos, o limite vale \mathrm{x = 0,45 \cdot d}), o dimensionamento da viga é realizado com armadura dupla, ou seja, adicionando armação comprimida.

Assim como realizado para armadura dupla em vigas retangulares, o momento também será dividido em parcelas, mas com alguns detalhes a mais. A primeira parcela já foi explicada anteriormente, será o momento resistente apenas pelas abas. A parcela resistida pela alma será dividida em duas, uma parte resistida com a linha neutra fixada no limite de norma e o outra parte equivalente ao restante do momento, em que a compressão será resistida por uma armadura comprimida.

Primeira parcela: compressão nas abas

Então vamos formular o explicado no parágrafo anterior. A primeira parcela, já comentada, vale:

\mathrm{M_1 = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot \left( b_f - b_w \right) \cdot h_f \cdot \left(d - \dfrac{h_f}{2} \right)}

Segunda parcela: compressão na alma

A segunda parcela, é apresentada na figura abaixo:

Vamos calcular o momento resistido pela aba igualando o mesmo ao gerado pelo binário apresentado na figura.

\mathrm{M_2 = F_{c2} \cdot (d - 0,4 \cdot x_{lim})}

\mathrm{M_2 = F_{c2} \cdot (d - 0,4 \cdot (0,45 \cdot d))}

\mathrm{M_2 = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot 0,8 \cdot x_{lim} \cdot 0,82 \cdot d}

\mathrm{M_2 = 0,85 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot 0,8 \cdot 0,45 \cdot d \cdot 0,82 \cdot d}

\mathrm{M_2 = 0,251 \cdot f_{cd} \cdot b_w \cdot d^2}

Agora que o momento foi calculado, podemos obter a área de aço necessária para essa parcela:

\mathrm{M_2 = F_{s2} \cdot (d - 0,4 \cdot x_{lim})}

\mathrm{M_2 = F_{s2} \cdot (d - 0,4 \cdot (0,45 \cdot d))}

\mathrm{M_2 = F_{s2} \cdot 0,82 \cdot d}

\mathrm{M_2 = A_{s2} \cdot f_{yd} \cdot 0,82 \cdot d}

\mathrm{A_{s2} = \dfrac{M_2}{0,82 \cdot d \cdot f_{yd}}}

Terceira parcela: restante do momento com compressão na armadura comprimida

A última parcela, ilustrada na figura abaixo, é resistida pelo binário gerado pela armadura tracionada, \mathrm{A_{s3}}, e a armadura comprimida \mathrm{A_s '}.

O valor da parcela \mathrm{M_3} representa o restante do momento solicitante de cálculo:

\mathrm{M_3 = M_{Sd} - M_1 - M_2}

Armadura tracionada

Podemos então, calcular a armadura de tração para resistir a esse momento:

\mathrm{M_3 = F_{s3} \cdot (d - d')}

\mathrm{M_3 = A_{s3} \cdot f_{yd} \cdot (d - d')}

\mathrm{A_{s3} = \dfrac{M_3 }{(d - d') \cdot f_{yd}}}

Repare que novamente calculamos a armadura inferior com a tensão igual a tensão de escoamento. Isso é garantido por termos a certeza, uma vez que limitamos profundidade da linha neutra, que a seção se encontra no domínio 3.

Armadura comprimida

Conforme comentando para armadura dupla de vigas retangulares, não temos a garantia que a armadura comprimida esteja escoando. Sabendo que o para o domínio 3 o encurtamento no concreto vale 3,5 ‰, é possível calcular a deformação na armadura comprimida:

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (x_{lim} - d')}{x_{lim}}}

\mathrm{\epsilon_s ' = \dfrac{0,0035 \cdot (0,45 \cdot d - d')}{0,45 \cdot d}}

Com a deformação calculada o próximo passo é obter a tensão atuante da armadura:

\mathrm { f_s ' = \left\{ \begin{array}{ll} 21.000 kN/cm^2 \cdot  \epsilon_s '; se \epsilon_s ' <  \epsilon_{yd} \\ f_{yd}; se \epsilon_s ' \geq  \epsilon_{yd} \end{array} \right. }

Por fim, a armação adicionada na região comprimida vale:

\mathrm{A_s ' = \dfrac{M_3}{(d - d') \cdot f_s '}}

Resumo da área de aço

Para a região tracionada da viga será adicionada a área de aço equivalente ao somatório das três áreas abaixo:

\mathrm{A_s = A_{s1} + A_{s2} + A_{s3}}

E para a região comprimida da viga será adicionada a área de aço \mathrm{A_s '}.

Parabéns por ter chegado até aqui! Agora que você já está afiado na teoria, o próximo passo é avançar para a resolução de exercícios a fim de fixar os conteúdos aprendidos. Dúvidas e sugestões são sempre bem vindos nos comentários abaixo.

Até a próxima!

Fonte:

ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. Rio Grande: Editora Dunas, 2014. v. 1

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado Segundo a NBR 6118:2014. São Carlos: EdUFSCar, 2014.

José de Moura

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