Estádios do concreto: aprenda na prática

Uma peça de concreto armado submetida a um momento fletor crescente apresenta três níveis de deformação até a sua ruptura, que são denominados de estádios de deformação.

Nesse post você aprenderá esse conteúdo que é base para muitas questões na engenharia estrutural.

Definição dos estádios

Caso prefira, você pode acompanhar esse primeiro tópico de definição pelo vídeo abaixo:

A seguir, você aprenderá os três estádios de deformação assim como as suas respectivas características.

Estádio I

No primeiro estádio a seção está submetida a um momento fletor \mathrm{M_t} de pequena intensidade, de modo que a tensão de tração no concreto é inferior a sua resistência característica. Dessa forma, a peça ainda não apresenta fissuras visíveis.

Como a resistência a tração não foi atingida, a contribuição do concreto para resistir esse esforço ainda é considerada.

Pode-se considerar que o momento de fissuração, previsto na ABNT/NBR: 6118 (2014), é o limite do estádio I:

\mathrm{M_r = \dfrac{\alpha \cdot f_{ct} \ I_c}{y_t}}

Em uma peça submetida à flexão, parte da seção estará solicitada a tração e a posição oposta à compressão. Diante desse fato, uma vez que a viga não está submetida à tração uniforme, é utilizado o coeficiente \mathrm{\alpha} para correlacionar a resistência a tração na flexão com a tração direta. O mesmo vale 1,2 para seções T ou duplo T, 1,3 para seções I ou T invertido e 1,5 para seções retangulares.

\mathrm{f_{ct}} é resistência à tração direta do concreto e, conforme presente pela ABNT/NBR: 6118 (2014), iremos utilizar porções estatísticas diferentes para cada estado limite verificado.

Apenas como exemplo do apresentado acima, para o estado limite de formação de fissura deve ser utilizado o \mathrm{f_{ctk,inf}} enquanto para o estado limite de deformação excessiva deve-se utilizar o \mathrm{f_{ct,m}}.

\mathrm{I_c} é o momento de inércia da seção bruta de concreto. Também pode ser tomado como o momento de inércia no estádio I com a armação incorporada. Assim sendo, é possível aumentar a inércia da peça ao considerar a contribuição da armadura.

Por fim, o \mathrm{y_t} é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada.

Estádio II

No estádio II a resistência a tração do concreto foi atingida, de modo que a peça apresenta fissuras visíveis e a contribuição da parte tracionada do concreto passa a ser desprezada. Nesse momento a distribuição de tensões de compressão no concreto ainda é linear.

Estádio III

No estádio III a peça já está próxima da ruptura e a distribuição de tensões no concreto não é mais linear.

Correlação entre estádios de deformação e estado limites

Existe uma relação direta entre os estádios de deformação e os estados limites: normalmente as verificações em serviço são realizadas com seções nos estádios I e II, atuando as ações reais, enquanto as verificações últimas de situações extremas são correspondem a seções no estádio III.

A figura abaixo apresenta um resumo contendo a distribuição de tensões em seções que caracterizam os três estádios comentados anteriormente.

Propriedades da seção no estádio I

Agora que você já aprendeu os conceitos por trás dos estádios do concreto, vamos avançar para obtenção da rigidez em cada um desses estádios.

Para a seção atuando no estádio I, a inércia poderia ser calculada considerando apenas o concreto, mas mesmo assim consideraremos o ganho de inercia fornecido pela armadura.

A seguir são apresentadas formulações de Carvalho e Figueiredo para a área da seção, centro de gravidade e inércia considerando a armação em uma seção no formato T.

Primeiramente vamos calcular a área da seção levando em consideração a área de aço:

\mathrm{A_h=(b_f-b_w) \cdot h_f + b_w \cdot h + \cdots}

\mathrm{+ A_s \cdot (\alpha - 1)}

Para essa formulação a armadura foi levada em consideração ao converter a área de aço em uma área de concreto equivalente a partir de um fator \mathrm{\alpha = \dfrac{E_s}{E_c}}.

O centro de gravidade da seção homogeneizada pode ser obtida a partir da equação abaixo:

\mathrm{y_{h}= \dfrac{(b_f-b_w) \cdot \dfrac{h_f^2}{2} + b_w \cdot \dfrac{h^2}{2}}{A_h} + \cdots}

\mathrm{+ \dfrac{A_s \cdot (\alpha - 1) \cdot d}{A_h}}

Por fim, podemos calcular o momento de inércia da seção homogeneizada:

\mathrm{I_h = \dfrac{(b_f - b_w) \cdot h_f^3}{12} + \dfrac{b_w \cdot h^3}{12} + \cdots}

\mathrm{+ (b_f - b_w) \cdot h_f \cdot (y_h - \dfrac{h_f}{2})^2 + \cdots}

\mathrm{+ b_w \cdot h \cdot (y_h - \dfrac{h}{2})^2 + \cdots}

\mathrm{+ A_s \cdot (\alpha - 1) \cdot (y_h - d)^2}

Propriedades da seção no estádio II

Assim como realizado para o estádio I, essas são as formulações apresentadas por Carvalho e Figueiredo para a inércia no estádio II de uma peça com seção em formato de T.

É válido lembrar que para o estádio II a consideração da armação não é opcional, uma vez que é assumido que o concreto já não resiste mais a tração nesse momento.

Vamos inicialmente obter a posição da linha neutra para essa situação:

\mathrm{x_{II} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}}

Onde:

\mathrm{a= \dfrac{b_w}{2}}

\mathrm{b = h_f \cdot (b_f - b_w) + \cdots}

\mathrm{+ (\alpha_e -1) \cdot A_s' + \alpha_e \cdot A_s}

\mathrm { c = d' \cdot (\alpha_e -1) \cdot A_s' + \cdots }

\mathrm { - d \cdot \alpha_e \cdot A_s - \dfrac{h_f^2}{2} \cdot (b_f - b_w) }

A inércia no estádio II dependerá se a linha neutra da peça caiu dentro ou fora da mesa:

Caso a linha neutra tenha caído dentro da mesa \mathrm{x_{II} \leq h_f}:

\mathrm{I_{II} = \dfrac{b_f \cdot x_{II}^3}{3} + \alpha_e \cdot A_s \cdot (x_{II}-d)^2 + \cdots}

\mathrm { + (\alpha_e -1) \cdot A_s' \cdot (x_{II} - d')^2 }

Caso a linha neutra tenha caído fora da mesa \mathrm{x_{II} > h_f}:

\mathrm { I_{II} = \dfrac{ (b_f - b_w) \cdot h_f^3 }{12} + \dfrac{b_w \cdot x_{II}^3}{3} + \cdots }

\mathrm { + (b_f - b_w) \cdot h_f \cdot (x_{II} - \dfrac{h_f}{2})^2 + \cdots}

\mathrm {+ \alpha_e \cdot A_s \cdot (x_{II} - d')^2 }

Exemplo aplicado

Vamos supor uma viga de concreto C20 com de 15 cm de largura e 40 cm de altura, vencendo um vão de 5,0 m e submetida a uma carregamento de 8 kN/m. O objetivo desse exemplo é analisar em que estádio se encontra a seção mais solicitada e qual sua inércia.

Descobrindo em que estádio a peça se encontra

Inicialmente é necessário calcular o máximo esforço a que essa viga está solicitada:

\mathrm{M_{máx} = \dfrac{q \cdot L^2}{8} = \dfrac{8 \cdot 5^2}{8} = 25 \; kN \cdot m}

Agora temos que verificar se essa seção atingiu o momento de fissuração do concreto:

\mathrm { M_r = \dfrac {\alpha \cdot f_{ct,m} \cdot I} {y_t} }

Assumiremos que essa análise tem por fim verificação do estado limite de deformação excessiva. Sendo assim, o valor da resistência à tração direta \mathrm{f_{ct}} foi tomado como o seu valor valor médio \mathrm{f_{ct,m}}.

\mathrm { f_{ct,m} = 0,3 \cdot {f_{ck}}^{\frac{2}{3}} = 0,3 \cdot 20^{\frac{2}{3}} }

\mathrm {f_{ct,m} = 2,21 \; MPa = 0,221 \; kN/cm^2}

A inércia será calculada apenas pela seção bruta de concreto, ou seja, para o estádio I desconsideraremos a contribuição da armadura.

\mathrm { I = \dfrac{b \cdot h^3}{12} = \dfrac{15 \cdot 40^3}{12} = 80000 \; cm^4 }

Por fim, o coeficiente \mathrm{\alpha} é assumido como 1,5, uma vez que se trata de uma seção retangular.

\mathrm { M_r = \dfrac{\alpha \cdot f_{ct,m} \cdot I}{y_t} = \dfrac{1,5 \cdot 0,221 \cdot 80000}{20} }

\mathrm { M_r = 1326 \; kN \cdot cm}

Visto que o momento solicitante \mathrm{(2500 kN \cdot cm)} é superior ao momento de fissuração \mathrm{(1326 kN \cdot cm)} prosseguiremos com o cálculo da inércia para o estádio II.

De acordo com a relação entre o momento atuante e o momento de fissuração é possível obtermos inercias intermediárias entre os estádios I e II (através da formulação de Branson), mas isso não é conteúdo para essa publicação.

Cálculo do momento de inércia para o estádio II

Calcularemos inicialmente a posição da linha neutra para a seção no estádio II. É válido ressaltar que mesmo as formulações apresentadas acima serem para seções em formato T, as mesmas são facilmente adaptáveis para seções retangulares.

\mathrm { a = \dfrac{b_w}{2} = \dfrac{15}{2} = 7,5 }

\mathrm { b = \alpha \cdot A_s = 9,865 \cdot 1,6 = 15,784 }

\mathrm { c = -d \cdot \alpha \cdot A_s = - 37 \cdot 9,865 \cdot 1,6 = -584,008}

\mathrm { x_{II} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} }

\mathrm { x_{II} = \dfrac{-15,784 \pm \sqrt{15,784^2 - 4 \cdot 7,5 \cdot (-584,008)}}{2 \cdot 7,5} }

\mathrm { x_{II} = \left\{ \begin{array}{ll} 7,835 \; cm \\ -9,939 \; cm \end{array} \right. }

Se tratando de um caso de flexão simples (sem a presença de esforço normal), não faria sentido a linha neutra fora da seção transversal. Logo, a possibilidade da raiz negativa é excluída.

Utilizando então a raiz positiva como o valor para a linha neutra, calcula-se por fim o valor do momento de inércia:

\mathrm { I_{II} = \dfrac{15 \cdot 7,835^3}{3} + 9,865 \cdot 1,6 \cdot (7,835 - 37)^2 }

\mathrm { I_{II} = 15830,67 \; cm^4 }

Observe que o valor do momento de inércia no estádio II é 19,8% do valor encontrado anteriormente considerando a seção bruta de concreto. Os conceitos aprendidos nesse exemplo serão muito úteis futuramente quando verificarmos situações de serviço.

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